河南省三门峡市五县市2023-2024学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（含答案）

★2024年1月29日
三门峡市五县市2023—2024学年度上学期期末调研考试
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，，若，则a的值不可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．定义在I上的函数，命题“，都有”的否定是（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，都有 D．，都有
3．已知曲线，则下面选项正确的是（ ）
A．先把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．先把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．先把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．先把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
4．医学治疗中常用放射性核素产生射线，而是由半衰期相对较长的衰变产生的．对于质量为的，经过时间t后剩余的质量为m，是以t为自变量的指数函数，其部分图象如图．从图中可以得到的半衰期为（ ）
A．67.3d B．101.0d C．115.1d D．124.9d
5．已知函数为R上的偶函数，，当时，都有，若，，（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，且，则（ ）
A．函数在内至少有一个零点 B．函数在内至少有一个零点
C．函数在内至少有一个零点 D．函数在和内各有一个零点
7．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．② D．②③④
8．已知函数，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．若函数的一条对称轴为，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在区间单调递增 D．
12．已知，，且．则下列选项正确的是（ ）
A．且 B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为______．
14．在半径为10米的圆形弯道中，的圆心角所对应的弯道长为______米．
15．已知函数，在存在最大值，则的取值范围是______．
16．已知函数，且时，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（1）计算：；
（2）在中，，，求的值．
18．（本小题满分12分）
已知函数和的定义域都是．
（1）请在同一平面直角坐标系上画出函数和的图象；（不要求写作法）
（2）求两图象交点的横坐标，并解不等式．
19．（本小题满分12分）
已知不等式的解集为．
（1）求a，b的值；
（2）当时，解关于x的不等式．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求在上的单调递减区间；
（2）若，，求的值．
21．（本小题满分12分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱（如图2），开始转动，后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱A，B里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）．
参考公式与数据：，，，
22．（本小题满分12分）
已知函数满足，有．
（1）求的解析式；
（2）若，函数，且，，使，求实数a的取值范围．
三门峡市五县市2023—2024学年度上学期期末调研考试
高一数学—参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C A C B A
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
题号 9 10 11 12
答案 ABD CD A ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：共70分．第17题10分，18～22题每题12分．
17．（10分）
【解析】
（1）
．
（2）在中，，所以，
所以，由，
得，
所以，
所以，
所以
18．（12分）
【解析】
（1）作图如下：
（2）由，得，
解得或，因为
所以或或或．
结合（1）的图象，可知的解集为．
19．（12分）
【解析】
（1）由题意知，1和b是方程的两根，
则，解得
（2）不等式，
即为，即．
①当时，解集为；
②当时，解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
20．（12分）
【解析】
（1），
由，，解得，，
又，函数在上的单调递减区间为．
（2）由（1）知，
又，，
，，
，
．
．
21．（12分）
【解析】
（1）时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，．
（2）当时，．
所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m．
（3）如图2，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则．经过
后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差
，
利用，
可得，．
当（或），即（或22.8）时，h的最大值为．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
22．（12分）
【解析】
（1），
将x替换成，得，
联立两式，解得．
（2）因为在上单调递增，
所以，
对于，不妨取，
则，
因为，所以，，
则，即，故在上单调递增，
又在上单调递增，且在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，所以在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递增，
则，，
因为，，使，
所以的值域的值域．
故，即，解得（负值舍去），
所以．