山东省德州市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

德州市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1-3页，第Ⅱ卷4-6页，共150分，测试时间120分钟。
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．已知两个向量，若，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千部） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则可以预测时，该商城手机的销量约为_________千部．（ ）
A．1.48 B．1.56 C．1.64 D．1.72
4．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中错误的是（ ）
A．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5
B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大
C．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
5．在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
则（ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
7将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．当时，中间一项为
C．第6行第5个数是
D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知正方体的棱长为1，点E，O分别是的中点，P为正方体的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．线段CP的长为 B．点P到直线EO的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为
10．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ）
A．不同的站队方式共有120种
B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种
C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种
D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．
12．已知抛物线，F为抛物线C的焦点，准线与y轴交于M点，过点F作不垂直于y轴的直线l与C交于A，B两点．设P为y轴上一动点，Q为AB的中点，且，则（ ）
A．当直线AB的倾斜角为时， B．当时，直线l的倾斜角为或
C．MF平分 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量的期望为_________．
14．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为_________．
15．的展开式中的系数是_________．
16．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择．现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则_________； _________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）
为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的8个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：
班级代号 1 2 3 4 5 6 7 8
需看护学生人数 20 22 27 30 25 23 32 21
（1）若将上述表格中人数低于25人的班级两两组合进行看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；
（2）从已抽取的8个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数低于25人的班级数为X，求X的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，E，F分别为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长．
20．（本小题满分12分）
为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 45
女性 15
总计
根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强．
（iii），其中．附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21．（本小题满分12分）
己知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的左、右两个焦点分别为，直线l过右焦点，且与椭圆交于C、D两点，求面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150．
①利用该正态分布，求；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）．
（2）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表：
奖金 50 100
概率
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：，若，则．
高二数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．BCD 10．ACD 11．ABD 12．ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．1 14． 15．120 16．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解：（1）求即求的系数．
． 2分
当，即项时，． 4分
（2）由展开式可知均为正值，均为负值，
故 5分
当时，，
当时，，
所以， 7分
， 9分
故． 10分
18．解：（1）若将表中人数少于25人的4个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，其中班级代号为1，2的两个班合班看护共1种方法． 2分
记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率． 4分
（2）随机变量X的可能取值为0、1、2、3， 5分
可得， 6分
， 7分
， 8分
， 9分
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
10分
所以数学期望． 12分
19．（1）证明：取中点G，连接FG，， 1分
三棱柱为直三棱柱，平面．
平面，
又．
又平面， 3分
为中点，F为中点，，
为中点，
四边形为平行四边形．
， 5分
平面． 6分
（2）解：，
为直角，即，则．
以为原点，在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系 7分
设，则
设平面的法向量为
则，即，取． 9分
为平面的一个法向量 10分
二面角的余弦值为，
，
解得，故的长为． 12分
20．解：（1）相关系数为
2分
4分
．
故y与x线性相关较强． 6分
（2）由题意：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
8分
． 10分
又，而且查表可得，由于，
所以有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关． 12分
21．解：（1）由题意可得：， 2分
解得：． 4分
所以椭圆的方程为． 5分
（2）由题意得直线的不会与x轴重合，
所以设直线CD的方程为
联立得 7分
， 9分
， 11分
又，当且仅当时，等号成立，
的最大值为3． 12分
22．解：（1）由题意，其中， 2分
． 4分
②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为：
（天） 6分
（2）易知，
对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为50，80，120，
其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10，
故， 8分
对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200，
故，
， 10分
所以， 11分
因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． 12分