福建省莆田市四校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（含解析）

仙游一中、莆田四中、莆田六中、莆田十中2023-2024学年
高一上期末联考数学试卷
（考试时间120分钟，试卷总分150分）
注意事项
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请按要求填写学校、班级、考号、姓名。
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角A的始边在x轴非负半轴，且满足，，则A是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
4．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位，则最终所得图象的一条对称轴方程可以为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增．若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．三个数，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，)，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．溶液酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的pH是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的pH值在6.5-8.5之间，则下列选项正确的是（参考数据：取）（ ）
A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH是1.6
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的pH是8.6
D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用
10．已知实数x，y满足，则一定有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称
C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为
12．设函数的定义域为R，且满足，，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有3个不同实数解
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域为______．
14．若，则______．
15．已知函数的部分图象如图所示．则函数的解析式为______．
16．中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志．每个五角星的一个内角都是，利用三倍角公式等恒等变换可以求得的值．先利用可求得______（用单角的正弦值表示）；再求得______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题满分10分，其它题满分12分．
17．已知函数的值域为集合A，集合，全集．
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围．
18．化简求值：（1）已知，且为第四象限的角，求的值．
（2）已知，求的值．
19．已知函数(e为自然底数，)．
（1）判断的单调性和奇偶性；
（2）解不等式．
20．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
21．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足．某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，则第x天的太阳直射点的纬度y近似满足，初始时间为，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归年以365天计算．
（1）求的值；
（2）已知莆田某小区的纬度为，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设标准用楼间距保障采光权，其中楼间距前楼高两楼距，已知A，B间的楼间距1.34，求一个回归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数．
参考数据
22．如图，已知直线，A是，之间的一个定点，且点A到，的距离分别为1，2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C．设，的面积为．
（1）求的面积S的最小值；
（2）已知，，若对任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围．
仙游一中、莆田四中、莆田六中、莆田十中
2023-2024学年高一上期末联考
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】利用交集定义、不等式性质直接求解．
【解答】解：集合，，2，4，，
，，
则的子集个数为．
故选：．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】分别求出满足、的角的所在象限，取交集得答案．
【解答】解：由，得为第三、四象限角或终边在轴负半轴上的角；
由，得为第二、第四象限角．
取交集可得，角的终边一定落在第四象限．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．
3．【分析】根据题意，由函数的解析式求出（2）、（3）的值，由二分法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，，其定义域为，
而函数和都在上的增函数，则在递增，
又由（2），（3）
则有（2）（3），
所以的零点一定位于区间，
故选：．
【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及二分法的应用，属于基础题．
4．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数；
再将图象向右平移个单位，得函数，
根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．
故选：．
【点评】本题综合考查三角函数的图象变换和性质．属于基础题．
5．【分析】将不等式转化为或，根据奇偶性和单调性可解．
【解答】解：已知是定义在上的偶函数，则，
又对任意，，，且，都有，
所以函数在，上单调递增，则函数在上单调递减，又（1），所以（1），
根据函数的单调性可知：等价为或，
即或，解得或，
即不等式的解集为，，．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，属于中档题．
6．【解答】解：，又
故选：C．
7．【解答】解：由及可得，
根据其值域为，且，
由正弦函数图象性质可得，
即可得，解得
故选：B
8．【解答】解法一：平方整理得解得或
代入上面两组值，都有
解法二：特值法,从，可令，
故选：D
二．多选题（共4小题）
9．【解答】：对于A，若苏打水的是8，即，所以，
即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确；
对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是，
因此，即海水是，所以C正确；
对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则；
而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；
故选：ABC
10．【解答】：令，
【答案】ABD
11．【解答】：对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于C，若最大值为2，则，，此时，，无解，故C不正确；
对于D，解法一：，
令得，所以或，又，
所以或或或或，
解得或或或或，即所有零点之和为，正确.
解法二：由B可知为零点，且其余零点一定关于对称，故只需考虑的零点.作出正弦图像可知或或，解得或或（不合）；从而零点之和为.或直接作出和在的图像可知只有两个交点，结合对称性，共有5个零点，可知所有零点之和为.
【答案】ABD
12．【分析】根据，，推导出，所以的周期为8，可判断；根据函数性质求出，，，，当，时，，，从而确定的取值范围，可判断；根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数，可判断；画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数，可判断．
【解答】解：因为，所以，
因为，故，所以，
即，所以，所以，
所以的周期为8，因为，所以（6），
因为，，
所以（6）（2），
因为，时，，所以，故（6），错误；
当，，，，所以，，
当，，，，，，
所以，，
综上：当，时，的取值范围为，，正确；
因为，所以关于对称，
故关于原点中心对称，所以为奇函数，正确；
画出与的图象，如下：
由，，可得两函数图象在有3个交点，
在两个图像相交，且，，则有两个交点，
共有5个交点，
所以方程仅有5个不同实数解，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判断，方程根的个数问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】
14．若,则　　．
【解答】
15．【分析】根据图象求出，，进而求出，再代点求，即可求函数的解析式．
【解答】解：由图象知，，，，
，
把点，代入得，，
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
16．【解答】解：；
解析：
因为，从而，
即，令，则，解得.
四．解答题（共7小题）
17．【解答】解：由函数的值域为，，...................................1分
得函数的值域为，， ...................................2分
当时，，，...................................3分
所以；...................................5分
（2）因为，所以或，.................................6分
由，得，或，................................8分
解得，或，
所以的取值范围为．................................10分
18．【解答】解：（1），且为第四象限的角
...............................3分
................................6分
（2）原式...............................12分
19．【分析】（1）利用函数奇偶性、单调性定义判断的单调性和奇偶性；
（2）由（1）中所得单调性可得，利用一元二次不等式、指数不等式的解法即可求解集．
【解答】解：（1）由函数定义域为，
令，则，.........................2分
由，则，故单调递增，................................4分
又，故为奇函数．................................6分
（2）由题设，，又单调递增，................................8分
所以，.........................9分
整理得，解得，.........................10分
所以，.........................11分
故不等式解集为．.........................12分
20．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再求单调递增区间．
（2）由题意在，上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数 的图象，求得实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数
，.........................3分
单调递增区间：.........................4分
.........................5分
函数的单调递增区间：.........................6分
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，.........................7分
若关于的方程在，上恰有一解，即 在，上恰有一解，.........................8分
即在，上恰有一解．
在，上，，，
函数，当，时，单调递增；当，时，单调递减，
而，，，.........................10分
，或，求得，或，
即实数的取值范围，．.........................12分
21．【解答】解：
(1)由已知，纬度函数的周期为365，.........................1分
所以；......................4分
(2)如图所示，当正午太阳光恰好照射到B楼底层时，
，从而，.........................6分
要使得能被正午太阳光照射到，则太阳高度角.........................7分
由太阳高度角公式可知，解得，.........................9分
整理得，.........................10分
解得，即.........................11分
又，从而，所以共有122天．.........................12分
22．【分析】（1）解和分别可得，，则的面积，根据的范围即可求的最小值；
（2）原不等式恒成立可转化为恒成立，令，可得，再令，根据的范围，讨论的值即可求解．
【解答】解：（1）在中，，则；.........................1分
在中，，，则，.........................2分
的面积．........................3分
，，
故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值2；..................4分
（2）由（1）知，，
．.........................5分
不等式对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立．.........................6分
令，则，
因为，所以，所以，
又，
．.........................8分
令，其中，
，．
①当时，，即；.........................9分
②当时，函数在上单调递增，
（1），即；.........................10分
③当时，函数在上单调递减，
，即.........................11分
综上，当时，实数的取值范围是，；
当时，实数的取值范围．.........................12分