河北省沧州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

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沧州市2023-2024学年第一学期期末教学质量监测
高二数学
班级 姓名
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的通项公式，则123是该数列的
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
2．已知直线方程为，则其倾斜角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知，，若与垂直，则
A． B． C．2 D．
4．已知，，，，且直线AB与直线CD平行，则
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
5．若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离
A． B． C．1 D．
6．已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
7．在等差数列中，p，，且，若，，则
A． B． C． D．
8．已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列结论正确的是
A．有两个单调区间 B．有两个极值点
C．有最小值 D．有最大值e
10．在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是
A．（m，） B．
C．是等比数列 D．
11．在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是
A． B．
C．在上的投影向量为 D．
12．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是
A． B．
C．离心率 D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线被圆截得的弦长为 ．
14．已知，则 ．
15．在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为 ．
16．已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在△OAB中，O是坐标原点，，．
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求△OAB的外接圆方程
18．（本小题满分12分）
已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前n项和，证明：．
19．（本小题满分12分）
已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．
（1）求p的值；
（2）过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点．
（1）证明：OD∥平面；
（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．
沧州市2023-2024学年第一学期期末教学质量监测
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A D B D C A AC ABD AB ABD
1．C
解析：由，解得（舍去），故选C．
[命题意图]该试题考查数列的通项公式，是数列的基础内容，数学思维方面主要考查运算思维．
2．D
解析：由题知直线斜率为，故其倾斜角为150°，故选D．
[命题意图]该试题考查直线的斜率、倾斜角等基本内容，是解析几何的基础内容，数学思维方面主要考查认知思维和记忆思维．
3．A
解析：，∴，解得，故选A．
[命题意图]该试题考查空间向量的坐标运算，要求学生记忆坐标运算的运算法则，是向量运算的基础，数学思维方面主要考查运算思维和双基思维．
4．D
解析：当直线AB与直线CD斜率均不存在时，，，故得，此时两直线平行；当时，，得，此时两直线平行，故选D．
[命题意图]该试题考查两条直线平行关系的判定，数学思维方面主要考查双基思维和逻辑思维．
5．B
解析：由已知可得点P的横坐标为，由抛物线定义知，由等面积法可得，解得，故选B．
[命题意图]该试题考查抛物线的定义与性质，是抛物线中比较简单的知识，其中综合了等面积法求距离，也可以用点到直线的距离来求，数学思维方面主要考查转化思维和认知思维．
6．D
解析：∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧，∴不在双曲线上，将代入双曲线方程解得，代入点解得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选D．
[命题意图]该试题考查双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，数学思维方面主要考查数形结合思想和推理思维．
7．C
解析：设等差数列的公差为d，则，，两式相减得，则，故选C．
[命题意图]该试题考查等差数列中最基本的转化与运算——向首项和公差转化，数学思想方面主要考查方程思想和转化思维．
8．A
解析：由题得，，设，∵，∴点M在圆：上．∵，∴，整理得，∴点M也在圆：上．同理点N也在这两个圆上，∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为，故选A．
[命题意图]该试题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及古代数学文化中的新情境，利用新情境解题来考查学生的创新思维和迁移思维．
9．AC
解析：由已知得，由解得，由解得，在上单调递减，在上单调递增，∴只有一个极值点，且在处取得极小值也是最小值，无最大值，故选AC．
[命题意图]该试题考查利用导数研究函数性质，是高考常考内容，数学素养方面主要考查数学运算素养．
10．ABD
解析：，，两式相除可得，故A正确；因为，由等比数列求和公式，可得，故B正确；∵（常数）∴是等差数列，故C不正确；对于D，，，…，，可看作是以为首项，q为公比的等比数列，故D正确，故选ABD．
[命题意图]该试题考查等比数列及其前n项和的变形应用，是等比数列的基础内容，数学能力和思维方面主要考查灵活变形能力和逆向思维．
11．AB
解析：如图，取DC的中点M，连接AM，BM，∵AM⊥CD，BM⊥CD，，∴CD⊥平面ABM，∴CD⊥AB，故A正确；取BD的中点H，连接HE，HF，∴，，∴HE⊥FH，即，又，∴，，∴，故B正确；由B知，在上的投影向量为，故C不正确；，故D不正确，故选AB．
[命题意图]该试题考查空间向量的数量积、投影向量、线性运算等，是空间向量的基础内容，数学思想和能力方面主要考查数形结合思想与空间想象能力．
12．ABD
解析：如图，∵，∴，，∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确；∵AB⊥OA，：∴，，，，故B正确；由B知，，则，故C不正确；由双曲线的性质知，，，∴，∴，，，故D正确，故选ABD．
[命题意图]该试题考查双曲线及其几何性质，是高考常考内容，该题还可以用正弦定理或角平分线定理来解答，数学思想方面主要考查数形结合思想和知识的迁移．
13．
解析：由已知得圆的半径，圆心为，圆心到直线的距离，所以防长为．
[命题意图]该试题考查直线与圆的位置关系，是解析几何的基础内容，数学素养方面主要考查数学运算素养．
14．
解析：由已知得，则，解得．
[命题意图]该试题考查导数的基本运算，结合三角函数求值，数学思维方面主要考查记忆思维和运算思维．
15．
解析：以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，显然平面，∵平面的一个法向量，又，∴点到平面的距离．
[命题意图]该试题考查空间向量中的点到平面的距离，是空间向量的重要内容，也可用立体几何中的等体积转化来求，数学素养方面主要考查直观想象与数学运算素养．
16．210
解析：由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴．
[命题意图]该试题考查数列中求通项的方法——累乘法，数学思维方面考查转化思维、构造思维和方程思想．
17．解：
（1）∵直线AB的斜率，
∴AB边上的高所在直线的斜率，
又AB边上的高所在直线过原点O，
∴AB边上的高所在直线的方程为．
（2）设△OAB的外接圆的方程为，
则，解得，
∴△OAB的外接圆方程为．
[命题意图]该试题考查直线的方程、直线的位置关系、圆的方程，数学思想方面主要考查运算思维和方程思想．
18．解：
（1）设数列的公差为d，
∴，
∴，，．
由已知得，解得或（舍），
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
∴，
∴．
[命题意图]该试题考查等差数列及等比数列的基本知识以及裂项相消法求和，数学思想方面主要考查变换思想和方程思想．
19．解：
（1）由抛物线的定义得，故．
（2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点，
设，，，
∴，，
当M，F不重合时，相减整理得，，
∴，即，
当M，F重合时，满足上式．
∴点M的轨迹方程为．
[命题意图]该试题考查抛物线的定义与求曲线轨迹方程等知识，数学思想方面主要考查方程思想．
20．解：
（1）当时，，则，
∴，，
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题得当时，恒成立，
∴恒成立，
∵，
∴当时，，
∴，即实数a的取值范围是．
[命题意图]该试题考查导数的几何意义、根据函数单调性求参数范围，数字思维方面主要考查跳跃思维和构造思维．
21．解：
（1）连接交于点E，连接OE，，
∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵平面，平面，
∴OD∥平面．
（2）连接OC，
∵，
∴为正三角形，
∴，
∵，且，
∴平面ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴CO⊥AB．
以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
由，可得．
则，，，
设平面的法向量为，
∴，即，
令，
∴，
设平面的法向量为，
∴，即，
令，∴，
设平面与平面所成的角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
[命题意图]该试题考查立体几何中的线面平行，线面垂直、法向量的求法、利用空间向量求平面与平面所成角等，是高考常考题目，数学能力方面主要考查数形结合和空间想象能力．
22．解：
（1）由已知得，，
∵，
∴，，
∴椭圆C的方程为．
（2）设，，
当直线MN的斜率不存在时，不妨令点M在x轴上方，点N在x轴下方，
易得，或，，则；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
，即，
由根与系数的关系得，，
∴，
设点O到直线MN的距离为d，则，
∴，整理得．
∵，
∴．
综上，直线OM与ON的斜率之积为定值．
[命题意图]该试题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的常考问题，定值定点问题又是其中的热点题目，数学思维方面主要考查归纳思维和探索思维．