泸县四中2023年秋期高三期末考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设或，，若，则实数a应满足
A. B. C.或 D.或
2．如果一个复数的实部与虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数为“等部复数”,则实数a的值为
A.-1 B.1 C.2 D.-2
3．在一次游戏中,获奖者可以获得5件不同的奖品,这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定,用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号,则5件奖品的编号可以是
A.3,13,23,33,43 B.11,21,31,41,50
C.3,6,12,24,48 D.3,19,21,27,50
4.阅读如图所示的程序框图,如果输出,那么在空白矩形框中应填入
的语句为
A.
B.
C.
D.
5．已知,则
A. B. C. D.
6．如图，若在正六边形ABCDEF内任取一点，则该点恰好
取自图中阴影部分的概率是
A. B. C. D.
7．如图,在底面为正方形的四棱锥中,已知平面ABCD,且．若点M为PD中点,则直线CM与PB所成角的大小为
A.60° B.45° C.30° D.90°
8．已知函数,将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,然后再向左平移个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则的值可能为
A. B. C. D.
9．莫高窟坐落在甘肃的敦煌,它是世界上现存规模最大 内容最丰富的佛教艺术胜地,每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟,在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟 莫高窟三层楼16号窟 藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要,莫高窟改为极速参观模式,游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观,所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是
A. B. C. D.
10．已知为锐角，，则
A. B. C. D.
11．已知P为双曲线左支上一点,双曲线的左右顶点分别为A,B,直线BP交双曲线的一条渐近线于点Q,直线APA,BAQ的斜率为,若以AB为直径的圆经过点Q,且,则双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.
12．已知实数m,n,,且,,,则
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数x,y满足约束条件则的最大值为__________
14．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则__________.
15．设椭圆，的离心率分别为，.若，则 .
16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数,例如:,,.若,使得成立,则实数的最大值为__________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）如图, 是等边三角形, 是等腰直角三角形, ,交于E,.
（1）求的值;
（2）求.
18．（12分）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者有5人，分别记为，，，，，女青年志愿者有3人，分别记为，，.现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；
（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.
19．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面,是棱的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)如果是棱上一点，且直线与平面所成角
的余弦值为，求的值.
20．（12分）已知.
(1)若的最小值为0,求m的值;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
21．（12分）椭圆的离心率为,右顶点为A,设点O为坐标原点,点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点,面积的最大值为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线交x轴于点P,其中,直线PB交椭圆E于另一点C,直线BA和CA分别交直线l于点M和N,若O、A、M、N四点共圆,求t的值.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．如图,在极坐标系Ox中,圆O的半径为2,半径均为1的两个半圆弧,所在圆的圆心分别为,,M是半圆弧上的一个动点.
（1）若点A是圆O与极轴的交点,求的最大值;
（2）若点N是射线与圆O的交点,求面积的取值范围.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求的解集;
（2）若恒成立,求a的取值范围.泸县四中2023年秋期高三期末考试
理科数学参考答案
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．D
13．8 14．或 15．. 16．12
17．（1）由题意得,,
所以,
所以.
（2）在中, ,
由正弦定理得,
故.
18．解：（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件C，则，所以所求概率为.
（2）记“男青年志愿者被选中”为事件A，“女青年志愿者被选中”为事件B，则，，所以，所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.
19．解：(1)因为在中，,
则，所以,
因为,所以,
又因为底面,平面,所以,
又,所以平面.
(2)如图，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则,
因为是棱的中点，所以，
所以,
设为平面的法向量，则即
令，则所以平面的法向量.因为平面,
所以是平面的一个法向量.
所以.
因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.
(3)因为是棱上一点，所以设，
设直线与平面所成角为，
因为平面的法向量，所以，
解得，即,所以.
20．解：（1）,定义域为,
①当时,在恒成立,单调递增,
又,故当时,,不满足题意,舍去;
②当时,由得,得,
所以,在上单调递减,在上单调递增,
所以.
令,则,
令,得,,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
所以,当的最小值为0时,即时,解得. 所以
（2）由（1）知：当时,恒成立,
等价于,
又等价于.
令,则上述不等式等价于
因为恒成立,所以,在R上单调递增,.
所以等价于,即,
因为当时,恒成立,
所以,故,解得.所以,实数a的取值范围是.
21．解：（1）由题意,设椭圆半焦距为c,则,即,得,
设,由,所以的最大值为,
将代入,有,解得,
所以椭圆的标准方程为；
（2）设,因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点,则直线BC不与x轴重合,
设直线BC方程为,与椭圆方程联立得,
,可得,
由韦达定理可得,
直线BA的方程为,令得点M纵坐标,
同理可得点N纵坐标,
当O、A、M、N四点共圆,由相交弦定理可得,即,
,
由,故,解得.
22．解：（1）由题知,半圆弧的极坐标方程为
化为直角坐标方程为,其圆心为,半径为,
由题可知,所以
（2）
由题知,,,,
所以
因为,所以,即,所以
23．解：（1）当时,,解得;
当时,,解得;
当时,,解得;
故的解集为.
（2）由于,
所以,即,
因为,
故,即.故a的取值范围为.
