泸县四中2023年秋期高三期末考试
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设或，，若，则实数a应满足
A. B. C.或 D.或
2．如果一个复数的实部与虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数为“等部复数”,则实数a的值为
A.-1 B.1 C.2 D.-2
3．在一次游戏中,获奖者可以获得5件不同的奖品,这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定,用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号,则5件奖品的编号可以是
A.3,13,23,33,43 B.11,21,31,41,50
C.3,6,12,24,48 D.3,19,21,27,50
4．阅读如图所示的程序框图,如果输出,那么在空白矩形框中应填入的语句为
A.
B.
C.
D.
5．已知,则
A. B. C. D.
6．如图，若在正六边形ABCDEF内任取一点，则该点恰好取
自图中阴影部分的概率是
A. B. C. D.
7．“”是“函数存在零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
A. B. C. D.
9．如图,在底面为正方形的四棱锥中,已知平面ABCD,且．若点M为PD中点,则直线CM与PB所成角的大小为
A.60° B.45° C.30° D.90°
10．已知为锐角，，则
A. B. C. D.
11．已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为
A. B. C. D.
12．已知实数m,n,,且,,,则
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数,例如:,,.若,使得成立,则实数的最大值为__________.
14．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则__________.
15．已知实数x,y满足约束条件则的最大值为__________
16．设椭圆，的离心率分别为，.若，则 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）如图, 是等边三角形, 是等腰直角三角形, ,交于E,.
（1）求的值;
（2）求.
18．（12分）某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，分别记录了3月1日到3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x (℃) 10 11 13 12 8
发芽数y（颗） 23 25 30 26 16
他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对选取的2组数据进行检验.
(1).求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
(2).若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为8℃时的种子发芽数.
参考公式：,其中,
19．（12分）如图,在几何体中, 平面为上的点, 是的中点, 为的中点
（1）若,求证: 平面
（2）若,求三棱锥的体积
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，且.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）过的直线l交椭圆C于两点，若内切圆的周长为，求直线l的方程
21．已知.
(1)若的最小值为0,求m的值;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．如图,在极坐标系Ox中,圆O的半径为2,半径均为1的两个半圆弧,所在圆的圆心分别为,,M是半圆弧上的一个动点.
（1）若点A是圆O与极轴的交点,求的最大值;
（2）若点N是射线与圆O的交点,求面积的取值范围.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求的解集;
（2）若恒成立,求a的取值范围.泸县四中2023年秋期高三期末考试
文科数学参考答案
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．C 10．D 11．A 12．D
13．8 14．或 15．. 16．12
17．（1）由题意得,,所以,
所以.
（2）在中, ,
由正弦定理得,
故.
18．(1).“设抽到相邻的两组数据为事件A”，从5组数据中选取2组数据共10种情况:
.
其中事件A的有：
(2).由数据求得
代入公式得：线性回归方程为：
当时，
当温差为8℃时种子发芽数为17颗.
19．（1）证明:连接,因分别是的中点
∴且
又∴∴
又∴∴
∴四边形为平行四边形
∴又平面平面
所以平面
（2）连接,则
所以平面,又在中
∴
所以三棱锥的体积为
20.（1）由题意可知.
因为过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，且，所以.
结合，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）内切圆的半径.
由椭圆的定义，得的周长为，
则的面积.
设点A，B的纵坐标分别为.
则有，得，得.
设直线l的方程为.
由消去x并整理，得，
则有，
所以.
整理，得，解得.
故直线l的方程为或.
21．解：（1）,定义域为,
①当时,在恒成立,单调递增,
又,故当时,,不满足题意,舍去;
②当时,由得,得,
所以,在上单调递减,在上单调递增,
所以.
令,则,
令,得,,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以,当的最小值为0时,即时,解得. 所以
（2）由（1）知：当时,恒成立,
等价于,
又等价于.
令,则上述不等式等价于
因为恒成立,所以,在R上单调递增,.
所以等价于,即,
因为当时,恒成立,
所以,故,解得.所以,实数a的取值范围是.
22．解：（1）由题知,半圆弧的极坐标方程为
化为直角坐标方程为,其圆心为,半径为,
由题可知,所以
（2）
由题知,,,,
所以
因为,所以,即,所以
23．解：（1）当时,,解得;
当时,,解得;
当时,,解得;
故的解集为.
（2）由于,
所以,
即,
因为,
故,即.故a的取值范围为.
