泸县一中2023年秋期高三期末考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则=
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则的虚部为
A． B． C． D．2
3．树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为
A．2 B．4 C．6 D．8
4．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则
x 3 5 7 9
y 6 a 3 2
A． B．变量x与y正相关
C．可以预测当时， D．变量x与y之间是函数关系
5．一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则平面图形的面积为
A． B． C． D．
6．设，不等式的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数，满足，，若，则
A．2 B． C． D．
8．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则
A． B．0 C． D．
9．已知，则
A． B． C． D．
10．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为
A． B． C． D．
11．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为
A． B． C． D．
12．已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（ ）个
① ② ③
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是 .
14．写出一个正整数，使得的展开式中存在常数项： ．
15．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 .
16．如图，在中，，，P为内一点，且，则 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.
(1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸；
(2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.
18．(12分)已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
19．(12分)如图，在三棱锥中，平面平面.
(1)证明：平面平面
(2)若为的中点，求平面与平
面所成角的余弦值.
20．(12分)已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，，求的取值范围.
21．(12分)已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知直线，（为参数），为的倾斜角，与轴交于点，与轴正半轴交于点，且的面积为．
(1)求；
(2)若与曲线交于两点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，集合，集合.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.泸县一中2023年秋期高三期末考试
理科数学参考答案
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．D 9．A 10．D 11．A 12．D
13．. 14．（答案不唯一） 15． 16．
17．（1）生产线生产的产品平均尺寸为：.
（2）次品的尺寸范围，
故生产线生产的产品次品率为.
设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，
故，则.
设生产一箱零件获利为元，
则，
则（元），
所以这箱零件的期望利润为40元.
18．（1）由题意，数列满足，
所以当时，，
两式相减可得，
因为，符合上式，
所以，故，
当时，，当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以.
19．（1）证明：因为平面平面，且两平面相交于，平面，
所以平面.因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，
所以.
设平面的法向量为，
则，所以，取，则.
设平面的法向量为，
则，所以，取，则.
.所以平面与平面所成角的余弦值为.
20．（1）由题意可知：的定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，
当或时，，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，等于函数在区间上的最大值与最小值之差，
由（1）可知：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
又，.
故当时，，，；
当时，，，
即：.
当时，，在上单调递减，
此时，即；
当时，，在上单调递增，
此时，即.
综上所述：
所以，的取值范围是.
21．（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径，
所以，，则，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.
因此动圆圆心的轨迹的方程为.
（2）①设，，.由（1）可知，，如图所示，
所以，，又因为，即，于是，
所以，
又，则，因此为定值.
② 设直线的方程为，由①中知，，
由得，，
由根与系数的关系得由①可知，，
即，代入化简得，解得或(舍去)，
所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为.
22．（1）由的参数方程知，由题意知，
所以，即，则的斜率为，由，所以．
（2）由（1）知，（为参数），代入，得到．
设对应的参数分别为，则，故．
23．（1）时，不等式可化为：，
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴不等式的解集为或.
（2）∵，
∴时不等式成立，
即成立，所以，即，
∴.所以，即，
的取值范围是.
