泸县一中2023年秋期高三期末考试
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则的虚部为
A． B． C． D．2
3．树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为
A．2 B．4 C．6 D．8
4．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则
x 3 5 7 9
y 6 a 3 2
A． B．变量x与y正相关
C．可以预测当时， D．变量x与y之间是函数关系
5．“”是“方程表示椭圆的”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则平面图形的面积为
A． B． C． D．
7．函数的图象关于
A．轴对称 B．直线对称
C．坐标原点对称 D．直线对称
8．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则
A． B．0 C． D．
9．已知，则
A． B． C． D．
10．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为
A． B． C． D．
11．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为
A． B． C． D．
12．已知，设，，，则
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是 .
14．已知实数满足，则的最大值为 ．
15．已知为第三象限角且，则的值为 .
16．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述三个结论：
①在有且仅有3个极大值点；②在有且仅有2个极小值点；
③的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）2025年我省将实行的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.
(1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“历政地”组合的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计效据，写出下列联表中的值，并判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？
选择物理 选择历史 合计
男生 10
女生 30
合计 30
附：.
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18．（12分）如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
19．（12分）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
20．（12分）已知圆：，动圆过定点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设斜率为1的直线交于，两点，交轴于点，轴交于，两点，若，求实数的值.
21．（12分）已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，，求的取值范围.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知直线，（为参数），为的倾斜角，与轴交于点，与轴正半轴交于点，且的面积为．
(1)求；
(2)若与曲线交于两点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，集合，集合.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.泸县一中2023年秋期高三期末考试
文科数学参考答案：
1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．D 11．A 12．D
13．. 14．11 15． 16．①③
17．（1）记物理为，历史为，政治、地理、化学、生物分别为，
根据选科要求，基本事件如下：，
，共种，
其中“历政地”组合为，
所以该生恰好选到“历政地”组合的概率为.
（2）依题意，
由此补全列联表如下：
选择物理 选择历史 合计
男生 10
女生
合计
所以，所以有的把握认为“选科与性别有关”.
18．（1）在直三棱柱中，平面，
平面，
又平面，平面，
平面，平面平面；
（2）由（1）可知平面，又平面，
由题意可知，，，
，设点到平面的距离为，
由可得，，
即，解得.所以点到平面的距离为.
19．（1）由题意，数列满足，
所以当时，，
两式相减可得，因为，符合上式，
所以，故，
当时，，当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以.
20．（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，故圆与圆相内切.
设圆的半径为，则，，从而.
因为，所以曲线是以点，为焦点的椭圆.
由，，得，故的方程为.
（2）设：，，，则，
，.
与联立得.
当时，即时，.
所以.
由（1）得，所以.
等式可化为.
当且时，.当时，可以取任意实数.综上，实数的值为.
21．（1）由题意可知：的定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，
当或时，，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，等于函数在区间上的最大值与最小值之差，
由（1）可知：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
又，.
故当时，，，；
当时，，，
即：.
当时，，在上单调递减，
此时，即；
当时，，在上单调递增，
此时，即.
综上所述：所以，的取值范围是.
22．（1）由的参数方程知，由题意知，
所以，即，则的斜率为，由，所以．
（2）由（1）知，（为参数），代入，得到．
设对应的参数分别为，则，故．
23．（1）时，不等式可化为：，
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴不等式的解集为或.
（2）∵，
∴时不等式成立，
即成立，所以，即，
∴.所以，即，
的取值范围是.
