安徽省宣城市2023-2024学年高二上学期1月期末调研测试数学试卷（含答案）

宣城市2023—2024学年度第一学期期末调研测试
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.设不同的直线，若，则的值为（ ）
A.-4 B.-1 C.1 D.4
2.数列满足，则（ ）
A. B. C. D.3
3.直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.在三棱柱中，分别是的中点，，则（ ）
A.. B.
C. D.
5.设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A.2 B. C. D.
6.已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在两条异面直线上分别取点和点，使，且.已知，则异面直线所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8.设椭圆的左右两个顶点分别为，点为椭圆上不同于的任一点，若将的三个内角记作，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A.实轴长为4 B.双曲线为等轴双曲线
C.离心率为 D.渐近线方程为
10.已知圆，直线则下列命题中正确的有（ ）
A.直线恒过定点
B.圆被轴截得的弦长为4
C.直线与圆可能相离
D.直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
11.已知等差数列满足，前3项和，则（ ）
A.数列的通项公式为
B.数列的公差为
C.数列的前项和为
D.数列的前20项和为56
12.已知四棱台的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）
A.侧棱上一点，满足，则面
B.若为的中点，过的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为
C.
D.设与面的交点为，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列的前项和为，且，则__________.
14.圆与圆的公共弦长等于__________.
15.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向是，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为__________.
16.已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.
20.（12分）如图，在五面体中，已知，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21.（12分）已知正项数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
22.（12分）已知分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆上的一点，当时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.
宣城市2023—2024学年度第一学期期末调研测试
高二数学参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D C D A B A C D
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
答案 ABD AD BCD AC
三 填空题
13.4 14. 15. 16.
四 解答题
17.（1）解：因为，所以
故数列为等差数列，设数列的公差为，
又因为，所以公差
所以
（2）记
18.（1）证明：连接交于，连接.
在三角形中，是三角形的中位线，
所以，又因为平面，
所以平面.
（2）由是直三棱柱，且，
故，两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则，
设平面的法向量为.则有
即
令，得，
，设点到平面的距离为，
则
19.解：（1）因为，且，
所以点的轨迹是双曲线的右支，
又
所以其轨迹方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为
联立方程消去得
由题意
设
则
且
直线的方程
20.（1）证明：平面，
平面平面平面，
取的中点的中点，连接，
，
又平面，平面平面，平面平面，
平面，
又，所以，且，
四边形为平行四边形，，
面，则平面，
又面，所以平面平面.
（2）因为，则，
因为平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设在线段上存在点，使
得平面与平面夹角的余弦值等于，
设平面的法向量为，
由，取，
可得，
由题意可得，
.
整理可得，解得或（舍去），
，则
综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于.
21.（1）解：因为
所以
两式相减有，即
因为，令有，所以，满足上式
所以
（2）由（1）得
当为偶数时，
令，则
令，所以，
两式相减得，
所以
所以
当为奇数时，
所以.
22.（1）解：由椭圆的定义得，且，得到，
因为，所以，解得，
所以
故所求的椭圆方程为.
（2）由题意得，
直线的方程，设，
联立，消去，整理得
直线的方程为，直线的方程为，
联立，
得
解得，即直线与的交点在定直线上.