河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案）

洛阳市2023——2024学年第一学期期末考试
高 二 数 学 试 卷
本试卷共4页，共150分。考试时间120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角为
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.若平面α的法向量为，直线l的方向向量为， α，则下列四组向量中能使l∥α的是
A. = (-1,0,1), = (1,0,1) B. = (0, -1,2), = (0,1, -2)
C. = (1, -2,1), = (-2,1, -2) D. = (2, - 1,1), = (-4,2, -2)
3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80 尺，则谷雨日影长为
A.1.5尺 B.3.5 尺 C.5.5 尺 D.7.5 尺
4.已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是
B. -2 < m < -1
C. m >-1 D. -2 < m < - 1 且
5.椭圆 的左、右顶点分别是A，B，椭圆的左焦点和中心分别是 F,O.已知|FO| 是|AF|,|FB| 的等比中项,则此椭圆的离心率为
C.
6.已知等比数列{} 的首项为 -1,前n项和为,若 则=
A. -16 B. -4
7.若圆 上总存在两个点到点(a，2) 的距离为3，则实数 a的取值范围是
A.(2,4) B.(0,4)
8.已知 P 为双曲线 左支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，N为△PF F 的内心. 若 则点 N 到焦点 F 的距离是
A.1 B.2 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知双曲线C 则
A.双曲线C 的离心率为
B.双曲线 C 的虚轴长为6
C.双曲线 C 的实半轴长为8
D.双曲线 C 的渐近线方程为
10.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为 =(2,-1,1),= (1,1,2),则二面角 A -BD- C的大小可能为
B.
11.已知A(-1,0),B(1,0),直线 AP,BP 相交于 P,直线 AP,BP 的斜率分别为k ,k 则
A.当 时，P 点的轨迹为除去A，B 两点的椭圆
B.当 时，P 点的轨迹为除去A，B 两点的圆
C.当 时，P 点的轨迹为除去A，B 两点的双曲线
D.当 时，P 点的轨迹为除去A，B两点的抛物线
12.数列{} 满足 数列 的前n项和为 且 则下列正确的是
是数列{}中的项
B.数列{b }是首项为3，公比为3 的等比数列
C.数列{ }的前n项和
D.数列 的前n项和
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.已知直线 与 平行,则m = .
14.已知抛物线 的焦点为F，点M是抛物线C的准线与x轴的交点，点P在抛物线上(点 P 在第一象限)，若 则|PF| = .
15.已知数列{}的前n项的积为Tn,且 则满足 的最小正整数 n 的值为 .
16.已知A(x ,y ),B(x ,y ) 两点均在双曲线 的右支上，若 恒成立，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
已知数列{} 是等差数列，满足 数列 是公比为2的等比数列，且
(1) 求数列{} 和{b }的通项公式;
(2) 求数列{}的前n项和S .
18.(12 分)
已知圆
(1) 若直线l过定点A(1,3),且与圆 C 相切,求l的方程;
(2) 若圆D的半径为1，圆心在直线n 上，且与圆C外切，求圆D的方程.
19.(12分)
如图，在正三棱柱 中, Q 为侧棱AA 上的点,且AQ = 2,点M,N 分别为AB, 的中点.
(1) 求异面直线 MN 与 QC 所成角的余弦值;
(2) 求直线 MN 与平面AA B B 所成角的正弦值.
20.(12 分)
已知数列{}的前n项和为
(1)求数列{}的通项公式;
(2) 令 求数列{b }的前n项和 T .
21.(12 分)
已知椭圆 的短轴长为2，且椭圆C 经过点(
(1)求椭圆C的方程；
(2) 若过点M(1,0) 的直线与椭圆C相交于P,Q两点,且OP⊥OQ,求直线PQ的方程.
22.(12 分)
在平面直角坐标系中,已知点,直线,点在直线上移动,是线段与轴的交点,动点 满足:
(1) 求动点 Q 的轨迹 C 的方程;
(2) 过点F的直线交轨迹C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线 AO 于点D，过点A 作直线DF的垂线与轨迹C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点共线.
洛阳市2023——2024学年第一学期期末考试
高二数学试卷参考答案
一、单选题
1 -4 CACA 5-8 BDDB
二、多选题
9. AB 10. BC 11. ABC 12. BCD
三、填空题
13. 14.26 15.12 16. [1, + ∞)
四、解答题
17. 解:(1) 设数列{}的公差为 d,满足
得 ，解得a = 2,d = 3, ……2 分
所以 a = 2 +3(n -1) = 3n -1. ……3分
又因为数列 是公比为2 的等比数列，且
所以 ……4 分
则 ……5分
(2) 前n项和 ) ……6分
……8 分
……9 分
所以，数列{b }的前 n项和 ……10分
18. 解：(1) 若直线l的斜率不存在，即直线 l的方程是x = 1，符合题意. ……2 分
若直线l斜率存在,设直线l的方程为y = k(x-1) +3,即kx-y-k+3 = 0. ……3 分
由题意知，圆心 C(3，4) 到已知直线 l的距离等于半径2，
即 ……4分
解得 ……5 分
所以直线l的方程是x = 1 和3x +4y -15 = 0. ……6 分
(2) 依题意设 D(a,4 - a),又已知圆C 的圆心为C(3,4),半径r = 2,由两圆外切,可知|CD| = 3, ……7 分
所以 ……8 分
解得 a = 0,或a = 3, ……9 分
∴ D(0,4) 或D(3,1), ……10 分
∴ 所求圆的方程为 或 ……12 分
19.解:取 A B 的中点D,连接MD,MC,
∵ AA ⊥ 平面ABC,AA ∥ MD,
∴ MD ⊥ 平面 ABC,
∴ MB,MC,MD 两两垂直. ……2 分
以M 为原点,MB,MC,MD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz,则 M(0,0,0),
……4 分
所以 ……5 分
(1) 由于
……6 分
所以异面直线 MN 与 QC 所成角的余弦值为 ……7 分
(2) 因为 MC ⊥ 平面AA B B,所以平面AA B B 的一个法向量为 n =(0,1,0),
……9 分
则 ……10分
设直线 MN 与平面AA B B所成角为θ,则
……11 分
即直线 MN 与平面AA B B 所成角的正弦值为 ……12分
20. 解:(1) 由 得,
即 ……2 分
又·
即数列{} 是首项为1，公比为4 的等比数列， ……4 分
∴ 数列{} 的通项公式 ……6 分
(2) 由(1)知, ……7 分
则
……9 分
……11分
所以，数列{bn}的前 n项和 ……12分
21.解:(1) 由题意可得 解得 a = 2,b = 1, ……2 分
所以椭圆 C的方程为 ……4 分
(2)显然直线 PQ的斜率存在且不为0,设直线 PQ 的方程为x = my +1,设P(x ,y ),Q(x ,y ),
联立 整理可得：
则 ……7 分
则
……8分
由OP ⊥ OQ,即
所以 即
可得 即 ……10分
所以直线 PQ 的方程为 或 ……11 分
即2x-y-2 = 0或2x+y -2 = 0. ……12分
22.解:(1)由题意可知R是线段PF的中点,因为RQ⊥PF,所以RQ为PF的中垂线,即| QP|=| QF|,又因为 PQ ⊥l,即Q点到点 F的距离和到直线l的距离相等,
……2 分
设Q(x,y),则 ……3 分
化简得 ，所以动点Q 的轨迹 C 的方程为 ……4 分
(2) 证明:设直线 AB 的方程为x = my +2,设点A(x ,y ),B(x ,y ),
联立 可得
由韦达定理可得 ……6分
又因为直线AO 的方程为
将 代入，可得 即点D(-2,y ), ……8 分
所以
因为 AE ⊥ DF,则
所以，直线 AE 的方程为 ……9 分
联立 可得 则
故 ……11 分
故G,B,D 三点共线. ……12 分