滕州市2023~2024学年度第一学期期末质量检测
高一数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知像2,3,5,7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数(也称为质数),设x是正整数,用表示不超过x的素数个数,事实上,数学家们已经证明,当x充分大时,,利用此公式求出不超过10000的素数个数约为( )(参考数据:)
A.1086 B.1229 C.980 D.1060
5.古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus,公元前417-公元前369年)详细地讨论了无理数的理论,他通过下图来构造无理数,则( )
A. B. C. D.
6.已知,则a,b,c的大小关系( )
A. B. C. D.
7.已知,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数,且,则( )
A. B. C. D.
二、多项选释题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知a,b,c满足,且,则( )
A. B. C. D.
10.下列各式中,值为的是( )
A. B. C. D.
11.以下运算中正确的有( )
A.若,则
B.
C.
D.
12.已知函数,有下列四个结论正确的是( )
A.为偶函数 B.的值域为
C.在上单调递减 D.在上恰有8个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数的定义域是_________.
14.关于x的不等式的解集为,则_________.
15.已知函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,且,则不等式的解集为_________.
16.函数的所有零点之和为_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知.
(I)求的值;
(Ⅱ)求的值.
18.(本小题满分12分)
已知幂函数的图象过点.
(I)求出函数的解析式;
(Ⅱ)判断并用定义证明在的单调性.
19.(木小题满分12分)
已知函数是定义在上的偶函数,且时,.
(I)求函数的解析式,并判断其单调性(无需证明);
(Ⅱ)若,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知函数的相邻两对称轴问的距离为.
(I)求函数的解析式;
(Ⅱ)先将函数图象上点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;再向右平移个单位长度得到函数的图象.若,求的值.
21.(本小题满分12分)
如图,ABCD是边长为80米的正方形菜园,计划在矩形ECFG区域种值蔬菜.E,F分别在BC,CD上,G在弧MN上,米,设矩形ECFG的面积为S(单位:平方米)
(I)若,请写出(单位:平方米)关于日的函数关系式;
(Ⅱ)求S的最小值.
22.(本小题满分12分)
已知函数
(I)证明为偶函数;
(Ⅱ)若函数的图像与直线没有公共点,求a的取值范围;
(Ⅲ)若函数,是否存在m,使最小值为0.若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
2023~2024学年度第一学期期末质量检测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A C D A A
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.ABD 10.ABD 11.AC 12.AC
三、填空题(每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
四、解答题(共70分)
注意:答案仅提供一种解法,学生的其他正确解法应依据本评分标准,酌情赋分.)
17.(本小题满分10分)
解:(I)因为,
解得:. 5分
(Ⅱ)所以
. 7分
. 10分
18.(本小题满分12分)
解:(I)根据题意,设幂函数的解析式为,
将点代入解析式中得,
解得, 2分
所以所求幂函数的解析式为. 4分
(Ⅱ)幂函数在上是增函数. 4分
证明:任取,且, 6分
则 7分
. 10分
因为,故,又,
所以. 11分
即幂函数在上是增函数. 12分
19.(本小题满分12分)
解:(I)当时,,
故,
所以函数的解析式为 4分
函数在上单调递增,在上单调递减. 6分
(Ⅱ)由(I)可知:. 7分
所以不等式可化为,
结合函数的单调性可知:. 10分
解得:,
所以实数a的取值范围为. 12分
20.(本小题满分12分)
解:(I)由题意知:,
. 2分
由题意得的周期,得:,
所以. 4分
(Ⅱ)由题意得
. 6分
因为,所以,
得.
因为,所以,
所以. 8分
所以
. 12分
21.(本小题满分12分)
解:(I)延长FG交AB于H,
则米,米,
则米,米,
故. 4分
(Ⅱ)由(I)得:
. 5分
令,则.
因为,
所以. 6分
所以, 8分
因为,
所以当时,.
即当时,
矩形ECFG面积的最小值为1400平方米. 12分
22(本小题满分12分)
解:(I)证明:因为,又
,
即.
所以为偶函数. 4分
(Ⅱ)原题意等价于方程无解
即方程无解. 5分
令,
因为,
显然
于是. 7分
因此当时满足题意,
所以a的取值范围是. 8分
(Ⅲ)由题意
令,则,
则. 9分
①当时,,
,解得. 10分
②当时,,
,解得:(舍去). 11分
③当时,
,解得:(舍去).
综上,存在,使得最小值为0. 12分