2023-2024学年安徽省合肥市长丰县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市长丰县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
3.下列各曲线中，表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各组图形中，是的高的图形是( )
A. B.
C. D.
5.如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，其对应的点坐标依次为，，，，，，，，，根据这个规律，第个点的横坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是( )
A. B. C. D.
8.已知，在等腰中，一个外角的度数为，则的度数不能取的是( )
A. B. C. D.
9.如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第______块去配，其依据是根据定理_______可以用字母简写( )
A. 拿去、
B. 拿去、
C. 拿去、
D. 拿任意一块
10.如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点则下列结论：；；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.“对顶角相等”的逆命题是 用“如果那么”的形式写出
12.写一个图象与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式______．
13.如图，，、的平分线交于点，于，且，则直线与的距离为______．
14.已知甲、乙两地相距千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时小时，小明出发小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程千米与时间小时的函数图象如图所示．
小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米小时．
在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离随的增大而增大时，的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知直线经过点和点．
求直线的解析式；
若直线与轴交于点，与直线交于点，求的面积．
16.本小题分
如图，点、、、在一条直线上，，，，与交于点．
求证：≌；
若，，求的度数．
17.本小题分
已知与成正比例，且时，．
求与之间的函数关系式；
当时，求的值．
18.本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后．的顶点均在格点上．
写出点，，的坐标；
写出关于轴对称的的各顶点、、的坐标．
19.本小题分
已知：点，，在同一直线上，和都是等边三角形，交于点，交于点，
求证：≌；
判断的形状并说明理由．
写出与的位置关系，并说明理由．
20.本小题分
如图，直线：与轴交于点，与经过、两点的直线交于点．
求点的坐标和直线的表达式；
在直线上是否存在异于点的另一点，使得与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
如图，在中，，，为外一点，且，交于点，为上一点，且，过点作交于点．
求证：；
若，求证：．
22.本小题分
某校运动会需购买、两种奖品共件，、两种奖品单价分别为元、元设购买种奖品件，购买两种奖品的总费用为元．
写出元与件之间的函数关系式；
若购买两种奖品的总费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值．
23.本小题分
如图，在中，，平分．
如图，若，求证：；
如图，若，求的度数；
如图，若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：点到轴的距离为．
故选：．
根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以B正确．
故选：．
根据函数的意义即可求出答案．
本题主要考查了函数图象的读图能力和函数概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
4.【答案】
【解析】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段是的高，
故选：．
三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．
本题考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：当时，，
解得，则点的坐标为，
所以关于，的二元一次方程组中的解为．
故选：．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6.【答案】
【解析】解：第一个正方形上有个点，添上第二个正方形后，一共有个点，添上第三个正方形后，一共有个点，
添上第个正方形后，一共有个点，
第个点的坐标是，
第个点的横坐标为，
故选：．
根据已知可推出第个点应在第个正方形上，从而求得个点的横坐标．
本题是对点的坐标变化规律的考查，考虑从第二个点开始，每个点为一组求解是解题的关键，也是本题的难点．
7.【答案】
【解析】解：要使整个图案构成轴对称图形，应该涂灰的小三角形是．
故选：．
根据轴对称的性质使整个图案构成轴对称图形，可得涂灰的小三角形．
本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
8.【答案】
【解析】解：当的角是顶角的外角时，顶角的度数为，另外两个角的度数都为；
当的角是底角的外角时，两个底角的度数都为，顶角的度数为；
故的度数不能取的是．
故选：．
因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：．
根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：的角平分线和的外角平分线，
，
，
在中，，
，
，
，故本小题正确；
，已证，
，
为的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，；故正确；
，，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，故小题正确；
，，
，
，，
，
，
，
，，
与都是等腰直角三角形，
，，
，
，
不成立，故本小题错误，
综上所述正确．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
先求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等得到，；
根据直角的关系求出，然后利用“角角边”证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得；
根据，，可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，有直角三角形斜边大于直角边，，从而得出本小题错误．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
11.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】【分析】
本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】
解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式为：答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
根据随增大而减小，即可得到函数关系式中的系数；依据图象与轴交于点，即可得到，据此可得结论．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，交于，
，
，
是的平分线，，，，
，
是的平分线，，，
，
，
即与之间的距离是．
故答案为：．
过点作，于，求出，则的长度是和之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出、的长度是多少，再把它们求和即可．
此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离；熟练掌握角平分线的性质定理是解决问题的关键．
14.【答案】 或或．
【解析】解：设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米小时，则第二段的速度为千米小时，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
即小聪骑自行车的第一段路程速度是千米小时，
故答案为：；
小明的速度为千米小时，
小明所走的路程与时间之间的函数解析式为；
小聪所走的路程与时间之间的函数解析式为，
当时，小明匀速前进，小聪未出发，两人之间的距离随的增大而增大；
当时，小聪的速度大于小明的速度，两人之间的距离先减小，小聪超过小明后，两人之间的距离再次拉开，
该阶段两人相遇时：，
解得，
当时，两人之间的距离随时间的增大而增大；
当时，小聪停止前进，则两人之间的距离先减小，相遇后再增大，
此时，，
解得，
当时，两人之间的距离随时间的增大而增大；
当时，小聪的速度大于小明的速度，两人的距离逐渐减小知道到达终点，两人相遇．
综上所述，当或或时，两人之间的距离随时间的增大而增大．
故答案为：或或．
设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米小时，则第二段的速度为千米小时，根据小聪各段所用时间之和列出方程，解方程即可，注意验根；
先写出小明和小聪所走路程与时间的函数解析式，再根据实际意义分段讨论即可．
本题考查了一次函数和分式方程的应用，观察函数图象找出关键点的实际意义，列出函数解析式是解题的关键．
15.【答案】解：把点，分别代入，
得
解得，，
直线解析式为；
由解得
点坐标．
直线交轴于，
设直线交轴于点，点，
，
．
【解析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，关键是正确求出直线的解析式．
利用待定系数法把点，代入可得关于、得方程组，再解方程组即可求得直线的解析式；
先求出两条直线的交点的坐标；求得直线、直线与轴的交点，然后根据三角形面积公式求解即可．
16.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
≌；
解：≌，
，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，，由三角形内角和定理可求解．
17.【答案】解：与成正比例
设
时，
把代入，可得：，
解得：．
【解析】设，利用待定系数法确定函数关系式即可；
把代入解析式，解答即可．
此题考查待定系数法确定函数关系式，关键是利用待定系数法确定函数关系式解答．
18.【答案】解：由坐标系可得：，，；
如图所示：
，，．
【解析】根据平面直角系的特点，写出点、、的坐标；
分别作出点、、关于轴的对称点然后顺次连接并写出各点的坐标．
此题主要考查了作图轴对称变换，关键是找出对称点的坐标，掌握关于轴对称的点的坐标变化特点：横坐标不变，纵坐标变相反数．
19.【答案】证明：和是等边三角形，
，，
等式的性质．
在和中，
≌；
证明：≌已证，
在和中，
≌，
．
又，
是等边三角形；
证明：是等边三角形，
，
．
【解析】根据等边三角形性质得出，，，求出，根据推出两三角形全等即可；
由和根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形；
，可得．
本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
20.【答案】解：直线：与轴交于点，
令，解得，
，
，设直线的表达式为，
，
解得：，
的解析式为．
存在，，理由如下，
直线：与直线：交于点，，
解得，
，
，，
，
设点的纵坐标为，
与的面积相等，
，
解得或舍去，
将代入直线：，
解得，
．
【解析】根据直线：与轴交于点，令，解得，求得点的坐标，根据，待定系数法求解析式即可求解；
先求得点的坐标，设点的纵坐标为，根据与的面积相等列出方程，求得的值，代入直线即可求解．
本题考查了一次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点，求两直线的交点，求直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21.【答案】证明：，
．
，
．
在和中，
≌，
；
证明：
，
．
在和中，
≌，
．
【解析】利用三角形内角和定理知，再利用证明≌，从而得出结论；
利用证明≌，得．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：设购买种奖品件，购买两种奖品的总费用为元，则购买种奖品件，
根据题意得：；
根据题意得：，
解得：．
在中，，
随值的增大而减小，
当时，取最小值，费用的最小值为元．
【解析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：根据数量关系找出关于的函数关系式；根据各数量之间的关系，找出关于的一元一次不等式组．
设购买种奖品件，购买两种奖品的总费用为元，则购买种奖品件，根据总费用种奖品单价购买数量种奖品单价购买数量，即可得出元与件之间的函数关系式；
根据“购买两种奖品的总费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可求出的最小值．
23.【答案】证明：如图中，作于．
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
设，则，
在上截取，连接，
，
，
是角平分线，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
如图，在上截取，连接，
，，
，
是角平分线，
，
，
在上截取，连接，
由得，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】如图中，作于证明即可解决问题；
设，则，在上截取，连接，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
如图，在上截取，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
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