2023-2024学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列，，，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知为双曲线右支上一点，，为双曲线的左右焦点，等于( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆：的左右焦点为，，上下顶点为，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知数列，，，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，若，公差，则( )
A. 有最大值为 B. 有最大值为
C. 有最大值为 D. 有最小值为
8.已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，则“，”是“单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的倍，则等于( )
A. B. C. D.
10.已知数列的通项公式为，给出下列四个结论：
数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立；
数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立；
数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立；
数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立．
其中正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知等比数列，，，则 ______．
12.抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则 ______．
13.已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个的值为______．
14.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有米．若行车道总宽度为米，则车辆通过隧道的限制高度是______米精确到米
15.已知曲线：关于曲线有四个结论：
曲线既是轴对称图形又是中心对称图形；
曲线的渐近线方程为，；
当时曲线为双曲线，此时实轴长为；
当时曲线为双曲线，此时离心率为．
则所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知圆：，点．
Ⅰ求圆的圆心坐标及半径；
Ⅱ求过点的圆的切线方程．
17.本小题分
已知直线与抛物线：相交于，两点．
Ⅰ求弦长及线段的中点坐标；
Ⅱ试判断以为直径的圆是否经过坐标原点？并说明理由．
18.本小题分
设数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
条件：且；
条件：且；
条件：且．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
20.本小题分
已知椭圆，点，为椭圆的左右顶点点在左，，离心率为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ过点的直线与椭圆交于，与，不重合两点，直线与交于点，证明：点在定直线上．
21.本小题分
已知数列，满足：，，，注：
Ⅰ若，求及数列的通项公式；
Ⅱ若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：双曲线，可得，
为双曲线右支上一点，，为双曲线的左右焦点，
．
故选：．
利用双曲线的标准方程，求解实轴长，结合双曲线的定义，求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据椭圆的性质可得，，
因为四边形为正方形，
所以，即，
所以．
故选：．
根据椭圆的几何性质得到，，然后根据四边形为正方形得，化简即可得到椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由抛物线的方程可得准线方程为，
由抛物线的性质可得，可得，
点在抛物线上，所以，
解得，所以
故选：．
由抛物线的方程，可得准线方程，由题意可得的值，将点的坐标代入抛物线的方程，可得的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：双曲线的离心率为，
则，令，，则，
则双曲线的渐近线方程为，
即为，
故选：．
运用离心率公式，令，，求出，再由渐近线方程，即可得到结论．
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由，，
可得．
故选：．
由数列的递推式和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：等差数列中，，公差，
则，
根据二次函数的性质可知，当或时，取得最大值．
故选：．
由已知结合等差数列的求和公式及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：在等比数列中，若，，则，
则，即为递增数列，则单调递增成立，即充分性成立．
若单调递增，则，有可能，，即必要性不成立，
故”，”是”单调递增”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论．
本题考查等比数列的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：记直线与轴交于，
双曲线：的左，右焦点分别为，，
由面积是的倍，可得，
，解得或，
或，或，
联立可得，，
直线与相交，
，解得，
不符合题意，
故．
故选：．
直线与轴交于，由题意可得，求解即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，设，
可以由函数向左平移个单位，向下平移个单位得到，
故在区间上，为减函数，则有，
对于数列，其通项公式为，
故数列为单调递减数列，且，
故存在常数，使得恒成立，
同时存在常数，使得恒成立．
故正确．
故选：．
根据题意，设，由函数图象平移的方法分析可得在区间上为单调性和值域，由此分析数列，即可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及函数的最值，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，等比数列，设其公比为，
若，，则，
则．
故答案为：．
根据题意，等比数列，设其公比为，先求出的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：双曲线中，，
，得双曲线的左焦点为
抛物线的准线经过双曲线的左焦点，
，解之得
故答案为：
根据双曲线的方程，算出、，从而，得抛物线经过双曲线的左焦点，由此建立关于的等式，即可解出实数之值．
本题给出抛物线的准线经过双曲线的左焦点，求焦参数的值．着重考查了双曲线、抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，若数列中存在负数项，即有正整数解，
又由，
又由，则，当且仅当时等号成立，
若有正整数解，则，即的取值范围为，
则的一个值为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，若数列中存在负数项，即有正整数解，对变形可得，结合基本不等式的性质分析的最小值，即可得的取值范围，进而分析可得答案．
本题考查函数与数列的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，，
设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，
抛物线方程为，行车道总宽度，
将代入抛物线方程，，
限度为，
则车辆通过隧道的限制高度是米精确到米，
故答案为：．
先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论．先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：曲线：，
可得，时，方程为；，时，方程为；
，时，；，时，方程为，
作出曲线的图象，如右图：
可得曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；
可得曲线的渐近线方程为，，故正确；
当时，曲线为双曲线，且在第一、三象限，关于直线对称，可得交点为，，
则实轴长为，故错误；
当时，曲线为双曲线，由两条渐近线垂直，可得双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故正确．
故答案为：．
讨论，的符号，去绝对值，可得曲线的方程，画出曲线的图象，结合图象可判断；由双曲线的性质可判断．
本题考查曲线与方程的关系，以及双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ由得，
所以圆心，半径；
Ⅱ设切线方程为，即，
则，解得或，
所以切线方程为或．
【解析】Ⅰ将圆的方程化成标准式，即可求出圆心与半径；
Ⅱ设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离为半径求出切线斜率．
本题考查圆的标准方程以及圆的切线方程的求法，属于中档题．
17.【答案】解：设，，
联立直线与抛物线方程，可得方程组，
消去整理得，而且，是该方程的两个根，
由韦达定理可知，
所以，
线段的中点坐标为；
以为直径的圆不经过坐标原点，
因为，
所以与不垂直，
所以以为直径的圆不经过坐标原点．
【解析】Ⅰ联立方程利用设而不求法即可求解；
Ⅱ由向量法判断与是否垂直即可．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ设公差为，，
选：且，可得，，解得，，不符题意，舍去；
选：且，可得，，解得，，符合题意，可得；
选：且，可得，，解得，，符合题意，可得．
Ⅱ选，可得，
数列的前项和；
选，可得，
数列的前项和．
【解析】Ⅰ分别选，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到符合题意的通项公式；
Ⅱ选，运用数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】Ⅰ证明：因为为正方形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
Ⅱ解：依题意，，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，
则，，，，．
，，．
设平面的法向量为，平面与平面夹角为，
则有，即，
令，则得，此时．
又因为平面，
所以为平面的法向量，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
Ⅲ解：因为平面的法向量，，
又因为，
所以点到平面的距离为．
【解析】Ⅰ利用线面平行的判定定理即可证明；
Ⅱ以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出面面角的余弦值；
Ⅲ利用点到平面距离的向量公式求解即可．
本题主要考查线面平行的证明，平面与平面所成角的求法，点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
Ⅱ证明：当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，
此时直线与椭圆的交点坐标为，，
易知直线的方程为，直线的方程为，
因为直线与交于点，
所以，
当直线的斜率存在时，
不妨设直线的斜率为，，，
此时直线的方程为，
因为，两点与，两点不重合，
所以，
联立，消去并整理得，
因为，
由韦达定理得，，
此时直线的方程为，直线的方程为，
联立，消去并整理得
．
综上，点在定直线上．
【解析】Ⅰ由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；
Ⅱ对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在且不为零时，设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，推出直线和的方程，将直线和的方程联立，再进行求证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由，，
可得，
当时，，
上面两式相减可得，
化为，
则数列是等比数列，
当时，，则公比为，
所以；
Ⅱ由Ⅰ可得，
由，
可得，
当时，，
上面两式相减可得，
化为，
则是公差为的等差数列，首项为，
即有，可得，
由，可得，
即有，化简可得．
【解析】Ⅰ由，，推得，由等比数列的定义和通项公式，可得所求；
Ⅱ由，化为，由等差数列的定义和通项公式，求得，结合，计算可得所求值．
本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的定义和通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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