泸县五中2023年秋期高三期末考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则
A． B．
C． D．
2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为
A．50 B．80 C．100 D．200
3．已知，则
A． B． C． D．
4．设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是
A．－15 B．－9 C．1 D．9
5．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是
A． B． C． D．
7．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为
A． B． C． D．
8．设是等比数列，且，，则
A．12 B．24 C．30 D．32
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为
A． B． C． D．
11．已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为 ．
14．若，则 ．
15．过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
16．如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某实验学校为提高学习效率，开展学习方式创新活动，提出了完成某项学习任务的两种新的学习方式.为比较两种学习方式的效率，选取40名学生，将他们随机分成两组，每组20人，第一组学生用第一种学习方式，第二组学生用第二种学习方式.40名学生完成学习任务所需时间的中位数，并将完成学习任务所需时间超过和不超过的学生人数得到下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种学习方式 15 5
第二种学习方式 5 15
（1）估计第一种学习方式且不超过m的概率、第二种学习方式且不超过m的概率；
（2）能否有的把握认为两种学习方式的效率有差异？
附：，
P（） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
19．（12分）如图所示，在三棱柱中，已知平面，，，.
(1)证明：；
(2)已知点在棱上，二面角为，求的值.
20．（12分）已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.
21．（12分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．泸县五中2023年秋期高三期末考试
理科数学参考答案
1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）根据列联表得：
第一种学习方式且不超过m的概率.第二种学习方式且不超过m的概率.
（2）由于，
所以有的把握认为两种学习方式的效率有差异.
18．解：（1）由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
（2），①
，②
由①②得：
，即.
19．（1）证明：在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，，
平面，平面，则，
，、平面，平面，
平面，.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设，其中，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，
整理可得，，解得.
因此，当为棱的中点时，二面角为，即.
20．解：（1）由圆及抛物线的对称性可知，点既在抛物线上也在圆上，
有：，解得故抛物线的标准方程的
（2）设直线的方程为，点的坐标分别为.
联立方程，消去后整理为，可得，
联立方程，消去后整理为，可得，，得
由有，，
，可得
的面积为
可得，有或
联立方程解得或，又由，
故此时直线的方程为或
联立方程，解方程组知方程组无解.
故直线的方程为或
21．（1）解：因为，所以，即切点坐标为，
又，
∴切线斜率∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，则，
∴在上单调递增，∴
∴在上恒成立，∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，∴，∴
∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.
22．解：（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.
23．解：（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去）
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
