第十七章 勾股定理预习自检卷（含解析）
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第十七章勾股定理预习自检卷2023-2024学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．设三角形的三边长分别等于下列各组数，则这四个三角形中是直角三角形的是（ ）．
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，7 B．0.3，0.6，0.5 C．，， D．2，2，2
4．如图，等边三角形的边长为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上的点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点分别在边上，连接，已知，，都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
7．如图，直角中，，，，将沿折叠得，点C的对应点为点D，则点D到的距离为（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，这是一个长为，宽为，高为的长方体纸箱，是的中点．点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点出发沿纸箱表面爬行到点处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏西和南偏西方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为 m．
10．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为 ．
11．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ．
12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ．
13．九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，则水深为 尺
14．如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．
15．如图，是的中线，，，则的长为 ．
16．如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，在中，，．
(1)在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
18．在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？
19．在中，于点D，E为的中点，连接，与交于点F，过点E作，与的延长线交于点N，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
20．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
21．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是________两点之间的距离，确定的依据是________；
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为160元，请计算绿化这块空地共需花费多少元？
22．小明在对本学期所学内容进行回顾与整理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系：
(1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．请你结合图1进行证明．
已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于．
求证：；
(2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得，，，，则阴影部分的面积为______平方米；
(3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在中，，，E，P分别是上任意一点，若，，则的最小值是______；
(4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形中，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，请直接写出______时，使为等腰三角形．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A．，不是直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，不直角三角形，故此选项不符合题意，
C．，不是直角三角形，故此选项不符合题意，
D．，是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可．
【详解】解：如图所示：
，
故选：C．
3．C
【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断即可．
本题主要考查了利用勾股定的逆定理判断三角形是否为直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】A、，
∴3，4，7不能作为直角三角形三边长，故A 选项不符合题意；
B、，
∴0.3，0.6，0.5不能作为直角三角形三边长，故B选项不符合题意；
C、，
∴，，能作为直角三角形三边长，故C选项符合题意；
D、，
∴2，2，2不能作为直角三角形三边长，故D选项不符合题意．
故选C
4．C
【大小】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，作，根据等边三角形三线合一可求出，，再根据勾股定理求出，观察图像所在的象限即可得出答案．
【详解】解：作，
是等边三角形，，
，
边长为，
，，
，
又通过观察图像可知点在第四象限，
的坐标是，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴点所表示的数为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，连接，先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，可得的长，根据中点的定义和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，都是等边三角形，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∵，点M是的中点，
∴，
∴，
∵N是的中点，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和．
【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图，
∵将沿折叠得，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，解得
那么，．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．把立体图形展开，根据勾股定理求解即可得到结论．
【详解】解：如图1，
；
如图2，
，
如图3，
，
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故选：A．
9．100
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉方向角和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可解答．
【详解】根据平角的定义可得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即后他们之间的距离为．
故答案为：100．
10．
【分析】本题考查了勾股定理．设左下角的字母为，在中，利用勾股定理，即可求出的长，进而可得出正方形的边长．
【详解】解：设左下角的字母为，如图所示．
在中，，，，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
∴边上的高为，
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积，
则正方形A的面积，
故答案为：4．
13．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
解之得，
即水深尺，芦苇长尺．
故答案为：．
14．150
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的应用．作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短，为直角的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短，
∵，，
，
又，
．
最短路线长为．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及垂直平分线的性质，由是的中线求出，由勾股定理的逆定理得出，进而由垂直平分线的性质得出．
【详解】解：∵是的中线，,
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵是的中线，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：．
16．2
【分析】本题考查了轨迹、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，先作出来辅助线，然后证得两个三角形全等，可求得结果，找到最小值是解题的关键．
【详解】解：连接，过点M作的延长线于点G，过点A作交射线于点K，如图所示：
，
∵等腰直角中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，
，
∴（SAS），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵M是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点D在射线上运动上时，点E在上运动，
∴当时，即点E在点G时，的值最小，
∴，
故答案为：2．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线，与的交点即为P点．
（2）设，则，勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：设，则．
在中，由勾股定理，得
，
即：，
解得 ．
∴
18．尺
【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题．
【详解】解：如图，过点D作于点E．
设寸，
则寸，寸，寸．
在中，，即，
解得寸，
寸尺．
答：门的宽度（两扇门宽度的和）为尺．
19．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）延长至M使，连接、，证明，得到，，再证明是直角三角形，由垂直平分线的性质，得到，最后利用勾股定理，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，补全图形如下：
（2）解：，证明如下：
如图，延长至M使，连接、，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，E为中点，
，
在直角三角形中，，
．
20．此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
21．(1)，勾股定理逆定理．
(2)绿化这块空地共需花费18240元．
【分析】（1）本题考查了勾股定理逆定理的应用，根据三角形三条边为、、，如果满足，则这个三角形为直角三角形，即可解题．
（2）本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，连接，根据勾股定理得到的长，根据勾股定理的逆定理可得到．再利用三角形面积公式即可解题．
【详解】（1）解：要确定，即要满足，
测量出的距离是否满足即可．
故答案为：，勾股定理逆定理．
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，
，，有，
，
，
平均每平方米的材料成本加施工费为160元，
（元），
答：绿化这块空地共需花费18240元．
22．(1)证明详见解析；
(2)144；
(3)；
(4)秒或4秒或秒．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、勾股定理与逆定理等知识点，解题的关键是：
（1）利用等面积法证明即可；
（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，根据勾股定理、三线合一的性质求出，然后根据求解即可；
（3）过点作，垂足为点，交于点，证明是的垂直平分线，则，此时的值最小，最小值为线段的长，然后根据等面积法求解即可；
（4）分或或三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
于D，于，于F，
，，，
又，
，
，
．
（2）解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，；
过点作于点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故四边形展区（阴影部分）的面积是．
（3）解：过点作，垂足为点，交于点，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，，
的面积，
，
，
故答案为：．
（4）解：根据题意，得
若为等腰三角形
则或或，
当时，
，，
，
，
．
当时，
，
，
，
当时，
，
，
在中，．
，
．
，
，
．
综上所述：当秒或4秒或秒时，为等腰三角形．
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第十七章勾股定理预习自检卷2023-2024学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．设三角形的三边长分别等于下列各组数，则这四个三角形中是直角三角形的是（ ）．
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，7 B．0.3，0.6，0.5 C．，， D．2，2，2
4．如图，等边三角形的边长为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上的点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点分别在边上，连接，已知，，都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
7．如图，直角中，，，，将沿折叠得，点C的对应点为点D，则点D到的距离为（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，这是一个长为，宽为，高为的长方体纸箱，是的中点．点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点出发沿纸箱表面爬行到点处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏西和南偏西方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为 m．
10．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为 ．
11．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ．
12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ．
13．九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，则水深为 尺
14．如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．
15．如图，是的中线，，，则的长为 ．
16．如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，在中，，．
(1)在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
18．在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？
19．在中，于点D，E为的中点，连接，与交于点F，过点E作，与的延长线交于点N，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
20．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
21．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是________两点之间的距离，确定的依据是________；
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为160元，请计算绿化这块空地共需花费多少元？
22．小明在对本学期所学内容进行回顾与整理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系：
(1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．请你结合图1进行证明．
已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于．
求证：；
(2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得，，，，则阴影部分的面积为______平方米；
(3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在中，，，E，P分别是上任意一点，若，，则的最小值是______；
(4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形中，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，请直接写出______时，使为等腰三角形．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A．，不是直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，不直角三角形，故此选项不符合题意，
C．，不是直角三角形，故此选项不符合题意，
D．，是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可．
【详解】解：如图所示：
，
故选：C．
3．C
【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断即可．
本题主要考查了利用勾股定的逆定理判断三角形是否为直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】A、，
∴3，4，7不能作为直角三角形三边长，故A 选项不符合题意；
B、，
∴0.3，0.6，0.5不能作为直角三角形三边长，故B选项不符合题意；
C、，
∴，，能作为直角三角形三边长，故C选项符合题意；
D、，
∴2，2，2不能作为直角三角形三边长，故D选项不符合题意．
故选C
4．C
【大小】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，作，根据等边三角形三线合一可求出，，再根据勾股定理求出，观察图像所在的象限即可得出答案．
【详解】解：作，
是等边三角形，，
，
边长为，
，，
，
又通过观察图像可知点在第四象限，
的坐标是，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴点所表示的数为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，连接，先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，可得的长，根据中点的定义和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，都是等边三角形，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∵，点M是的中点，
∴，
∴，
∵N是的中点，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和．
【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图，
∵将沿折叠得，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，解得
那么，．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．把立体图形展开，根据勾股定理求解即可得到结论．
【详解】解：如图1，
；
如图2，
，
如图3，
，
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故选：A．
9．100
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉方向角和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可解答．
【详解】根据平角的定义可得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即后他们之间的距离为．
故答案为：100．
10．
【分析】本题考查了勾股定理．设左下角的字母为，在中，利用勾股定理，即可求出的长，进而可得出正方形的边长．
【详解】解：设左下角的字母为，如图所示．
在中，，，，
，
正方形的边长为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
∴边上的高为，
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积，
则正方形A的面积，
故答案为：4．
13．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
解之得，
即水深尺，芦苇长尺．
故答案为：．
14．150
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的应用．作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短，为直角的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短，
∵，，
，
又，
．
最短路线长为．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及垂直平分线的性质，由是的中线求出，由勾股定理的逆定理得出，进而由垂直平分线的性质得出．
【详解】解：∵是的中线，,
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵是的中线，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：．
16．2
【分析】本题考查了轨迹、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，先作出来辅助线，然后证得两个三角形全等，可求得结果，找到最小值是解题的关键．
【详解】解：连接，过点M作的延长线于点G，过点A作交射线于点K，如图所示：
，
∵等腰直角中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，
，
∴（SAS），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵M是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点D在射线上运动上时，点E在上运动，
∴当时，即点E在点G时，的值最小，
∴，
故答案为：2．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线，与的交点即为P点．
（2）设，则，勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：设，则．
在中，由勾股定理，得
，
即：，
解得 ．
∴
18．尺
【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题．
【详解】解：如图，过点D作于点E．
设寸，
则寸，寸，寸．
在中，，即，
解得寸，
寸尺．
答：门的宽度（两扇门宽度的和）为尺．
19．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）延长至M使，连接、，证明，得到，，再证明是直角三角形，由垂直平分线的性质，得到，最后利用勾股定理，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，补全图形如下：
（2）解：，证明如下：
如图，延长至M使，连接、，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，E为中点，
，
在直角三角形中，，
．
20．此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
21．(1)，勾股定理逆定理．
(2)绿化这块空地共需花费18240元．
【分析】（1）本题考查了勾股定理逆定理的应用，根据三角形三条边为、、，如果满足，则这个三角形为直角三角形，即可解题．
（2）本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，连接，根据勾股定理得到的长，根据勾股定理的逆定理可得到．再利用三角形面积公式即可解题．
【详解】（1）解：要确定，即要满足，
测量出的距离是否满足即可．
故答案为：，勾股定理逆定理．
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，
，，有，
，
，
平均每平方米的材料成本加施工费为160元，
（元），
答：绿化这块空地共需花费18240元．
22．(1)证明详见解析；
(2)144；
(3)；
(4)秒或4秒或秒．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、勾股定理与逆定理等知识点，解题的关键是：
（1）利用等面积法证明即可；
（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，根据勾股定理、三线合一的性质求出，然后根据求解即可；
（3）过点作，垂足为点，交于点，证明是的垂直平分线，则，此时的值最小，最小值为线段的长，然后根据等面积法求解即可；
（4）分或或三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
于D，于，于F，
，，，
又，
，
，
．
（2）解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，；
过点作于点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故四边形展区（阴影部分）的面积是．
（3）解：过点作，垂足为点，交于点，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，，
的面积，
，
，
故答案为：．
（4）解：根据题意，得
若为等腰三角形
则或或，
当时，
，，
，
，
．
当时，
，
，
，
当时，
，
，
在中，．
，
．
，
，
．
综上所述：当秒或4秒或秒时，为等腰三角形．
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