第十八章 平行四边形预习自检卷（含解析）

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第十八章平行四边形预习自检卷2023-2024学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则与之间的距离为（ ）

A．6 B． C． D．4
3．如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
4．如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知菱形的周长为40，对角线，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
6．菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（ ）

A． B．
C． D．
7．如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
8．如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则边上的高 ．

10．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小．
11．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．
12．如图，在中，点D是斜边的中点，于点E，于点F，，，则 ．
13．如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ．
14．如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为 ．
15．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为 ．
16．如图，如果以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，……如此下去，已知正方形的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，，…，（为正整数），那么第9个正方形的面积 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形.动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，移动.当移动时间为4秒时，求的值.
18．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
19．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，已知点M是线段上一点，且，则的长为_______．
20．如图，在中，，延长到点E，使过点E作交的延长线于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，直接写出的长．
21．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且；
(1)求证：；
(2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？
(3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长．
22．【问题初探】
在数学活动课上，如图①有一块等腰三角形纸片，，为边上一点，连接，小明将沿折叠，得到，再将边翻折，使与重合，得到折痕．
(1)直接写出和的数量关系；
【类比分析】
(2)折叠(翻折)是一种全等变换，折叠前后的两个图形，关于折痕成轴对称，两个图形全等；利用折叠这种操作方法，能很好的解决某些图形中的边、角关系，请你解答．
如图②，是的高，，，，求的面积；
【学以致用】
(3)如图③，等腰三角形中，，，是边上一点，连接，将沿翻折得到，再将翻折，使与重合，折痕为，延长到点，使，连接，若，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了命题与定理、特殊四边形的判定等知识点，掌握菱形、矩形、正方形的判定方法是解题的关键．
根据菱形、矩形、正方形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分相等的四边形是正方形，所以C选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．先利用菱形的性质及勾股定理求得菱形的边长，再利用面积法求解即可．
【详解】解：设与之间的距离为，在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角得出，从而得出，进而是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，，点为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴矩形的面积为48，，
∴，
∵对角线交于点O，
∴的面积为12，
∵
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】此题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理等知识，根据题意得出的长是解题关键，进而得其对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形的周长为40，对角线，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
6．D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选项A正确；
∵，
∴，
∴，
故选项B正确；
∵，
故选项C正确；
∵，
∴，
故选项D错误；
故选：D．

7．A
【分析】本题考查了中位线．熟练掌握中位线是解题的关键．
由题意知，是的中位线，根据的周长为，计算求解即可．
【详解】解：∵D，E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得到，，再根据等底同高的三角形面积相等得到，进而得到，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴ 和是等底同高的三角形，
和是等底同高的三角形，
和是等底同高的三角形，
∴，， ，
，
∴，
故选：．
9．
【分析】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等知识．根据菱形的性质可求出的长，利用菱形的面积公式即可求出的长．
【详解】解：如图所示，

在菱形中，对角线，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．4
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．
【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：4．
11．/度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据题意先求出，再由折叠的性质得到，则．
【详解】解；∵，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法求高．如图作于M，连接，利用求出，利用即可解决问题．
【详解】解：如图作于M，连接．
，
，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
13．/22.5度
【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
14．或10
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，点F作的平行线，交于点H，交于点G，先求出，再求出，设，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：①当点E在线段上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即；
②当点E在线段延长线上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即．
综上：或．
故答案为：或10．
15．
【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键．根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵四边形为边长为的正方形，
∴，
由平移的性质可知，，
∴，
故答案为：．
16．256
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质．根据正方形的性质和勾股定理可表示出第一个正方形的边长为，，第二个正方形的边长为，，第三个正方形的边长为，，第四个正方形的边长，，由此得出第个正方形的边长为，面积，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：第一个正方形的边长为，面积，
第二个正方形的边长为，面积，
第三个正方形的边长为，面积，
第四个正方形的边长，面积，
…，
第个正方形的边长为，面积，
当时，，
故答案为：256．
17．
【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．
【详解】解：连接、，

∵点A的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
∴，，
依题意，，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，即，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
在中，，，
∴，
∴
∴四边形的面积是：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)2
(3)或
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理；
（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出，再结合图形即可求出．
【详解】（1）∵，
，
为的平分线，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
（3）如图，
在（2）的条件下，，
∵，
∴，
∴
故答案为：或．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）证得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
21．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）利用已知条件，可证出，即；
（2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论；
（3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，，
．
；
（2）解：成立，理由如下：
，
．
．
即．
，
．
，，，
．
．
；
（3）解：如图，过C作，交延长线于G，
在直角梯形中，，，
，，
四边形为正方形．
．
，
由（2）结论可知，，
，
设，则，
，．
在中，，
，
解得：．
．
22．(1)；(2)；(3)
【分析】（1）∵将沿折叠，得到，再将边翻折，使与重合，得到折痕得出，进而即可求解；
（2）将沿翻折得到，将翻折得到，延长，交于点．证明,得出，则四边形为正方形．设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）作于点，于点．证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵将沿折叠，得到，再将边翻折，使与重合，得到折痕
∴
∴，
即
（2）如图2，将沿翻折得到，将翻折得到，延长，交于点．
∵是的高，，
∴,
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形为正方形．
设，则，，
在中，
解得：

∴
（3）解：如图3，作于点，于点．
将沿翻折得到，再将翻折，使与重合，折痕为
设，则，
∴
∴
∴，则
∵，，
∴
∴
又
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
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