2023-2024学年数学人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．己知，且，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
6．在中，，且，则的面积的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
7．已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．没有最大值
C．有最大值为 D．有最小值为
10．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列几种说法中正确的是（ ）
A．若，则的最小值是4
B．命题“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，则的解集是
D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件
12．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
14．已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是 .
15．某汽车租赁公司的月收益y（单位：千元）与每辆车的月租金x（单位：千元）间的关系为．若要使公司的月收益最大，则每辆车的租金为 千元．
16．如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题：
①由图知，即可以得到不等式；
②由图知，即可以得到不等式；
③由图知，即可以得到不等式；
以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号）
四、解答题
17．对于不等式与没有共同解，求的取值范围．
18．设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
19．已知函数.
(1)若不等式的解集是，求，的值；
(2)当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.
20．设全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21．已知二次函数的图象的对称轴为直线，且过.
(1)求的解析式；
(2)当自变量在什么范围取值时，的值等于0？小于0？
22．某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
参考答案：
1．A
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意条件，条件或，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
2．C
【分析】直接解出一元二次不等式即可.
【详解】即，解得，
即该不等式的解集为，
故选：C.
3．D
【分析】由题意可得，即可得解.
【详解】因为命题“”是真命题，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
4．D
【分析】借助不等式的性质对选项逐个分析即可得.
【详解】对A：若，则由，有，故错误；
对B：若，则有，故错误；
对C：若，则有，故错误；
对D：由，则，，故，故正确.
故选：D.
5．A
【分析】利用“1”代换，结合基本不等式即可求出答案
【详解】因为，且，
所以.
当且仅当时，即，有最小值.
故选：A.
6．C
【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，进而求得的面积的最小值.
【详解】因为，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，解得，
所以的面积的最小值为.
故选：C.
7．C
【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可.
【详解】因为，
所以，即，
所以由基本不等式可得，
等号成立当且仅当即，
综上所述，的最小值为；
因为不等式恒成立，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：关键是对已知条件等式变形，利用基本不等式的乘“1”法，求出的最小值，从而即可顺利得解.
8．C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
【详解】由题意得，，则， ，即，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
9．ABD
【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况.
【详解】，，，
当且仅当即时等号成立，故A正确，B正确；
又，时，，即，
所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】直接由作差法结合不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；
对于B，因为，所以，即，故B错误；
对于C，因为，，所以，，故C正确；
对于D，因为，所以，即，故D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】A：取进行分析；B：根据含一个量词的命题的否定方法得到结果；C：先根据韦达定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式对一切x都成立时的取值范围，然后作出判断.
【详解】对于A：当时，，但，故A错误；
对于B：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“，”，故B正确；
对于C：因为的解集是，所以，所以，
所以，解得，故C正确；
对于D：当时，恒成立，
当时，若不等式对一切x都成立，
则，解得，
综上，时，不等式对一切x都成立，
所以“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件，故D正确；
故选：BCD.
12．BD
【分析】根据一元二次不等式的解集得出、与的关系，对选项一一判断即可得出答案.
【详解】关于的一元二次不等式的解集为或，
所以是方程的根，且，
所以，所以，，故A错误；B正确；
，故D正确；
因为或，所以，故C错误；
故选：BD.
13．/0.2
【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令其中，
所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
若，则，即，
，
则,故,则，
当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，
综上可知的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
14．
【分析】由特称量词与全称量词得出命题的否定，再由一元二次不等式恒成立得出实数的取值范围.
【详解】若是假命题，则，，
当时，代入不等式得成立；
当时，，
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：
15．5
【分析】根据二次函数的性质即可求解最值.
【详解】因为，所以当（千元）时，有最大值．
故答案为:5
16．①②③
【分析】根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得，，，，利用图形中线段的大小关系即可得出结论.
【详解】由题意利用三角形相似可得，即得，
易知，又，所以由可得；即①正确；
在中，易知，所以可得，
由三角形相似可得，所以，
由可得，即②正确；
易知，
利用勾股定理可得，
所以由，即可以得，即③正确；
故答案为：①②③
17．
【分析】求得的解集，即可将原问题转化为时，的问题，进而转化为恒成立问题，分离参数转化为恒成立，利用函数的单调性，求得当时的取值范围，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.
【详解】解不等式得.
“两不等式和没有共同解”等价于“当时，恒成立”
即当时恒成立.
当时，
要使得，只需使得恒成立
即恒成立.
由于为区间上的单调增函数
当时的取值范围是
所以，即的取值范围为.
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案；
（2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案.
【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，
当时，即，满足题意；
当时，需满足，解得；
故实数的取值范围为；
（2）由可得，即，
即
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
故原不等式的解集为：当时，解集为；
当时，解集为；
当，时，解集为；
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用韦达定理即可求解；
（2）分和讨论即可.
【详解】（1）由题意得为方程的两实数根，且，
则，解得.则，.
（2）当时，，
即不等式一切实数恒成立，
当时，即，显然对一切实数并不是恒成立，则，
则有，解得，
综上所述：.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案；
（2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由得：，解得：，
则，；
当时，，解得，
则；.
（2）由（2）知：；由,
解得：，即，
因为是的必要不充分条件，是的真子集，
且等号不会同时取到，解得，
即实数的取值范围为.
21．(1)
(2)当或3时，的值等于0；当时，的值小于0
【分析】（1）根据二次函数的对称轴的计算公式以及代入已知点，可得答案；
（2）根据一元二次不等式的求解，可得答案.
【详解】（1）因为图象的对称轴为直线，所以，
又因为，所以，
所以.
（2）由，得，则.
由，得，即，解得.
综上，当或3时，的值等于0；当时，的值小于0.
22．当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元
【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题可知
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在时取最小值，
于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元．
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