2023-2024学年数学人教A版必修第一册第五章三角函数精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教A版必修第一册第五章三角函数精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
3．（ ）
A．0 B．
C．－1 D．
4．已知函数满足，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，，且有两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．
C．若，则 D．
10．以下结论正确的是（ ）
A．已知，，则
B．的定义域为
C．的值域为
D．的值域为
11．，和是方程的两个根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设，则（　　）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
三、填空题
13．函数的值域为 .
14．已知函数，A，B是直线与曲线的两个交点，若的最小值为，，，则 ．
15．已知，满足，则 ．
16．以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为 .
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的最小值及相应x的取值；
(2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．
18．已知是第二象限角，且，是第一象限角，且
(1)求，；
(2)若对于任意的角都有成立，求
19．已知函数的最大值为.
(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；
(2)求函数的单调递增区间.
20．设函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若，则在闭区间上有实数解，求实数的取值范围；
(3)若函数的图象过点，且不等式对任意均成立，求实数的取值集合．
21．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.
22．已知函数在区间上的最大值6.
(1)求的值；
(2)求在的对称轴方程；
(3)求在的单调递增区间.
参考答案：
1．A
【分析】由题意结合二倍角公式化简后，解方程可得，由同角三角函数与角所在象限计算即可得.
【详解】，
即，即，
故或，由，故需舍去，
即，又，故，
则.
故选：A.
2．C
【分析】根据题意，得到，此时，结合函数在区间上不单调，求得，即可求解.
【详解】由函数的图像关于轴对称，可得，
因为，可得，所以，
又由，可得，
当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意；
当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意；
当时，可得，可得在上不单调，符合题意；
当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意；
当时，则函数的最小正周期为，此时，
所以函数在上不是单调函数，符合题意，
所以，所以满足条件的有9个.
故选：C.
3．D
【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：原式
，
即.
故选：D.
4．B
【分析】利用给定的分段函数，依次代入计算即可得解.
【详解】函数，，
所以.
故选：B
5．A
【分析】两角差的正弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.
【详解】因为
，
因此，.
故选：A.
6．C
【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果.
【详解】依题意有，即，且，
∴函数的定义域为．
故选：C．
7．B
【分析】分别借助三个函数、和的单调性思考问题，借助中间值判断即可.
【详解】函数中，所以函数在上单调递增，
则；
函数中，所以函数在上单调递减，
则；
函数在上单调递增，
则；
所以.
故选：B.
8．D
【分析】求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值.
【详解】由题意，
在中，向左平移得到，
所以，
因为为偶函数，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
9．ACD
【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到；BC选项，画出，，且与的函数图象，数形结合判断BC选项；D选项，由，推出，不妨设，则，由单调性得到，证明出结论.
【详解】A选项，设，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，
由三角函数定义可知，，
设扇形的面积为，则，即，故，
当时，有不等式，A正确；
B选项，画出，，且与的函数图象，如下：
可以看出，，故，B不正确；
C选项，的最小正周期为，由图象可知，故，C正确；
D选项，由，可知，
所以．
则．
不妨设，则，
由于在上单调递增，故，
则，D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，可令函数值为0，直接进行求解；
（2）转化为两函数图象的交点问题来解决；
（3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解.
10．ACD
【分析】对于A,结合题意得到的范围，分两种情况考查即可；对于B，根据函数有意义的条件可求得定义域；对于C，分离常数后可求得函数值域；对于D，变形函数解析式，换元后转化为一元二次函数即可求得值域.
【详解】对于A，由题知且，
若时，则，故不成立，
当时，由得，
由得，由得，
综上知，，故A正确；
对于B，由题知，则，
故函数的定义域为，故B错误；
对于C,因为，
故函数的值域为，故C正确；
对于D，，
设，
则，
故当时，，
当时，，
所以函数的值域为，故D正确，
故选：ACD.
11．AD
【分析】由题设，利用根与系数关系及判别式有，，，再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.
【详解】由，则，
则，且，则，
由，A对，B、C错；
由，则，
当且仅当时取等号，故，D对.
故选：AD
12．AD
【分析】根据余弦型函数的性质一一分析即可.
【详解】，
根据余弦函数的奇偶性知为偶函数，最小正周期，A正确，B错误；
，故的图象不关于直线对称，C错误；
，故的图象关于点对称，D正确.
故选：AD.
13．[，1]
【分析】根据同角三角函数基本关系化简得到，然后利用换元法，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，利用三角函数的基本关系式，可得，
令，则，可得，
因为函数在上单调递增，上单调递减，
所以当时取得最大值，，
当时取得最小值，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
14．
【分析】设直线与曲线的两个交点，则，再由的最小值为，求出，由，求出，进而求出.
【详解】因为A，B是直线与曲线的两个交点，设
则有两个根，
即，又因为=
，所以，
，所以，
，又因为，所以
，所以.
故答案为：.
15．0
【分析】根据三角函数的对称性可得，即可代入求解.
【详解】因为，由，得，所以．
故答案为：0
16．/
【分析】先求出的大小，再根据诱导公式求出，结合三角函数的定义即可得解.
【详解】在单位圆中，弧长对应的圆心角为，
因为，所以可设，
因为点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，
所以，故，
所以，
，
所以点的坐标为.
故答案为：.
17．(1)时，取得最小值．
(2)，．
【分析】（1）化简得到，根据正弦型函数的性质，即可求解；
（2）化简得到，结合题意，利用正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以当，即时，取得最小值．
（2）由函数，
由，可得，
又，取时，可得；取时，可得；
所以在上的单调递增区间为，．
18．(1)，.
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系即可；
（2）利用两角和的正、余弦公式并结合整体法即可.
【详解】（1）因为是第二象限角，且，
所以，
因为是第一象限角，且，
所以.
（2），
，
所以.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件化简函数为，根据的最大值为，解出值即可.
（2）根据正弦型函数求单调区间的方法求出的单调递增区间即可.
【详解】（1）
；
当时，函数取到最大值，所以，即；
令，得，
所以当函数取到最大值时的集合为
（2）由（1）得，
所以令，
得，
所以函数的单调递增区间为
20．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据给出的条件，确定函数的解析式，再根据对数函数的单调性解不等式；
（2）先确定的值，分离参数，把问题转化成函数在给定区间上的值域问题，结合函数单调性求值域；
（3）先确定的值，利用函数单调性把问题转化成代数不等式求解.
【详解】（1）当时，，
不等式，即，
可得，且，
解得，
不等式的解集为；
（2）由，得，∴，
，即在闭区间上有实数解，
可得，
令，即求在闭区间上的值域，
根据指数和对数的性质可知，是增函数，
∴在闭区间上的值域为，
故得实数t的取值范围是；
（3）函数的图象过点，则，故，
那么，不等式转化为，
即 ，
解得，
又，即，
，
又，所以，
对任意均成立时，实数x的取值集合为．
【点睛】关键点点睛：第二问中，要分离参数，问题转化为存在性问题，进而用函数单调性求函数在给定区间上的值域，分离参数是关键；第三问中，含对数的不等式问题，解的时候一定要注意对数的真数要大于这个条件.
21．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解.
（2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解.
（3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解.
【详解】（1）
.
由，可得，
即的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以，所以，
当时，即时，，
当时，即时，.
（3）因为，所以，同理
由题意可得，.
即，所以，
所以，即可得，
因为，所以，所以，
所以，
因为，可设，则，
所以，
因为，且，所以，
所以.
22．(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由求得，再由正弦函数的性质可求出其最大值，从而列方程可求出的值；
（2）由可求出函数的对称轴；
（3）由可求出函数的增区间.
【详解】（1），
由，得，知，
所以最大值，解得.
（2）令，，解得，，
可得的对称轴方程为，；
（3）令，，解得，，
可得的单调递增区间为，.
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