2023-2024学年数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是偶函数，则（ ）
A．3 B．0 C． D．2
5．设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．根据下表数据，可以判定方程的根所在的区间是（ ）
1 2 3 4
0 1
1
A． B．
C． D．
7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为全体实数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数在上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的定义域为
C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为
11．下列各项不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．命题“”的否定是 ．
14．函数的定义域为 ．
15．已知函数（且）的图象经过定点P，则点P的坐标是 .
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．对于函数．
(1)判断函数的单调性，并给出证明；
(2)是否存在实数a使函数为奇函数？
18．已知函数．
(1)当时，求在上的最值；
(2)设函数，若存在最小值，求实数a的值．
19．已知，，且为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值；
(2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？
21．经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点中心对称”的充要条件是“是奇函数”.某数学学习小组对上述结论进行再探究，又得到一个真命题：“函数的图象关于点中心对称”的充要条件是“为奇函数”.若定义域为的函数的图象关于点中心对称，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为的“保值”区间.若函数在上存在保值区间，求的取值范围.
22．已知函数且.
(1)若，函数，求的定义域；
(2)若，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】分别将与比较大小，从而得到的大小关系.
【详解】因为，，，
故，
故选：A
2．D
【分析】根据函数表达式，结合零点定理即可得出零点所在的一个区间.
【详解】由题意，，函数在定义域上单调递增，
，，
，，
∴零点所在的一个区间是,
故选：D.
3．D
【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可.
【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似.
.故选：D.
4．A
【分析】根据偶函数的定义与性质结合对数运算分析求解.
【详解】因为函数是偶函数，
则，
结合的任意性可得，可得，则，即，
若，则，令，解得或，
可知的定义域为，关于原点对称，符合题意；
若，则，
可知的定义域为，不关于原点对称，不符合题意；
综上所述：.
故选：A.
5．D
【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案.
【详解】依题意，作出函数与的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点；
又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点，
函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点，
综上所述，共有5个零点．
故选：D．
6．B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】设，在上单调递增，
，
，
，所以的零点在区间，
所以方程的根所在的区间是.
故选：B
7．B
【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递增，故有，
此时函数的值域为，
当时，函数单调递减，故有，
此时函数的值域为，
要想函数的值域为，
只需，
故选：B
8．C
【分析】依题知，时，恒成立，讨论和两种情况，列出条件，解出即可.
【详解】因为函数的定义域为全体实数，
则时，恒成立，
当时，不等式为，恒成立，符合题意；
当时，则，
解得，
综上知，，
故选：C.
9．BC
【分析】A选项，由对勾函数性质得到A错误；B选项，根据对数函数性质直接得到B正确；C选项，配方后得到函数的单调性；D选项，求出，故D错误.
【详解】A选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B选项，在上单调递增，故B正确；
C选项，在上单调递增，故C正确；
D选项，因为，，故D错误.
故选：BC．
10．BD
【分析】根据对数的真数大于零即可求出函数的定义域，根据符合函数的单调性结合对数函数的单调性即可求出函数的单调区间.
【详解】由，
得，解得或，
所以的定义域为，故A错误，B正确；
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又函数在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．ABC
【分析】根据n次方根的概念和性质可判断A,C，根据对数的运算性质和换底公式可判断B,D.
【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误；
对于B，由对数的运算性质可知B错误；
对于C，由n次方根的性质，当为奇数时，，当为偶数时，，故C错误；
对于D，.故D正确.
故选：ABC.
12．ABC
【分析】根据基本不等式及性质可依次判断A,C,D选项，对B，由，得，利用指数函数的单调性可求解判断.
【详解】对于A，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，故选项A正确；
对于B，，且，则，所以，故选项B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，故选项D错误.
故选：ABC.
13．“”
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即得.
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：“”.
14．
【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域
【详解】依题意，，得，则，故所求定义域为．
故答案为：
15．
【分析】由，令，解得，代入即可得解.
【详解】因为，所以令，解得，所以，
即函数（且）的图象经过定点.
故答案为：.
16．
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
令，由于，所以的定义域为，
又，
所以是奇函数，当时，为增函数，则，
由是奇函数可知，在上单调递增，
则，
于是，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
17．(1)在区间上单调递增，证明见解析
(2)存在
【分析】（1）利用单调性的定义证明函数的单调性；
（2）假设存在实数a，使函数为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出.
【详解】（1）在区间上的单调递增．
证明如下：对任意，且，
，
因为在单调递增，且，所以，即，
又，则，
即，所以，
所以在区间上单调递增．
（2）假设存在实数a，使函数为奇函数，
则对任意，
都有
，解得，
故存在实数，使函数是奇函数．
18．(1)最小值为；最大值8
(2)
【分析】（1）换元后结合二次函数单调性得到最值；
（2）令，求出，转化为在区间上存在最小值，分和两种情况，结合函数单调性，得到方程，求出实数a的值.
【详解】（1）当时，，
令，因为，所以．
所以，．
故当时，；当时，，
即当时，取得最小值；当时，取得最大值8．
（2），
令，则，当且仅当，即时，等号成立，
于是问题等价转化为在区间上存在最小值，
二次函数的对称轴方程为，
当，即时，在区间上单调递增，此时存在最小值，
令，解得，不符合题意，舍去；
当，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以存在最小值，
令，解得（负值舍去）．
综上得，．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求；
（2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】（1）由，可知，
又为偶函数，所以有，即，
化简得，即，
所以，得.
经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数.
故所求的值为2.
（2）由（1）可知，即方程有且只有一个实数解，
显然，所以上述方程可化为，
即方程有且只有一个实数解，
令且，
则关于的方程有且只有一个不为1和的正根，
，
①当时，.
（i）若，则方程化为，
此时方程的解为，符合题意.
（ii）若，则方程化为，
此时方程的解为，不符题意，故舍去.
②当时，需满足即解得.
当时，即1为方程的解时，.
当时.
所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，.
综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解.
20．(1)
(2)9倍
【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解；
（2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，解得，所以.
（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为，
则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为，
因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则，
化简得，
则，即，可得，
所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）利用奇函数的定义及对称性计算即可；
（2）利用函数的单调性分类讨论解方程与不等式，结合一元二次方程根的分布及分段函数的性质计算即可.
【详解】（1）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，
所以为奇函数，
所以，即，
时，，
所以，
所以；
（2）由（1）可知：，
①当时，易知在单调递增，
所以时，有，
即方程在有两个不相等的根，
即在上有两个不相等的根，
令，，
因为，
所以有不可能有两个不相等的根；
②当时，易知在单调递增，
所以时，则，
即方程在有两个不相等的根，
即在上有两个不相等的根，
令，，
则有，解得，
③当时，
易知在上单调递增，所以在单调递增，
此时，
即
令，，则易知在单调递减，
所以即，
又时，，
当且仅当，即时取得等号，
所以，此时无解；
综上可知：的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数解析式得出是递增函数，分段讨论所属范围，依据一元二次方程根的分布、基本不等式计算的取值范围的即可.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可；
（2）分和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案.
【详解】（1），代入可得：
，
有意义可得，所以，
的定义域为.
（2）.
因为且，所以恒成立.
若，则函数是增函数.
因为，所以，即.
设，要使时，恒成立，
只需或
解得.
故符合题意.
若，则函数是减函数.
因为，所以，即.
结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立.
故不符合题意.
综上，的取值范围为.
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