2023-2024学年数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　）
A．EF与GH互相平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（ ）

A．直线与是异面直线 B．平面平面
C．该几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为
6．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为，下列选项描述正确的是（ ）
A．的值等于1 B．
C．的值等于2 D．
7．已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多选题
9．在正方体中，分别是棱，上的点，且平面平面，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．平面
D．平面面
10．如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）

A．直线平面
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ）
A．不存在点，使得 B．的最小值为
C．四棱锥的外接球表面积为 D．点到直线的距离的最小值为
12．在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（ ）
A．
B．
C．异面直线，EF所成角的正切值为
D．异面直线，EF所成角的正切值为
三、填空题
13．已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为 ；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为 ．
14．直三棱柱的底面是直角三角形，，，，．若平面将该直三棱柱截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为 ．
15．已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则
16．如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点．
①存在唯一的直线与直线和直线都相交；
②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是；
③存在唯一的直线与直线和直线都垂直；
以上三个命题中，所有真命题的序号是 .
四、解答题
17．如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．
(1)证明：；
(2)若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．
18．如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2．E、F分别是的中点，H是的中点，过作平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
19．如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，

(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
20．已知四棱锥中，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，，求四面体的体积.
21．如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
(1)求证：平面；
(2)若，平面平面.若为中点，求证：.
22．如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】利用长方体中线面的关系，逐一确定各选项.
【详解】
A选项：令平面为平面，为直线，为直线，
有：，，但，A错误；
B选项：令平面为平面，令平面为平面，
令平面为平面，有：，，而，B错误；
C选项：令平面为平面，令平面为平面，为直线，
有：，，则，而，C错误；
D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.
故选：D
2．D
【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果.
【详解】因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，
所以，且.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，
所以，且，
所以，且，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
则平面ABC，同理平面ACD.
又平面平面，
所以M在直线AC上．
故选:D.
3．C
【分析】根据圆台的侧面展开图分别求出上下底面圆半径，再由圆台侧面积公式计算可得结果.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
利用弧长公式可得，解得
又，解得；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，
故选：C.
4．B
【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.
【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，
点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，
则点为三棱锥外接球的球心，
因为平面，且为等边三角形，，
所以四边形为矩形，，，
所以，即三棱锥外接球的半径，
则该三棱锥外接球的表面积为.
故选：B
5．D
【分析】可借助正方体解决正八面体的有关问题.
【详解】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：

因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为.
∵，，，四点共面，直线与是共面的，故A错；
设二面角为，，，所以.
所以：二面角，故B错；
，故C错；
由八面体的构成可知：平面和平面之间的距离是正方体体对角线的，所以两个平面之间的距离为：，故D对.
故选：D
6．D
【分析】设圆锥形容器的底面积为S，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为，
则，所以，
则水的体积为；
设倒置后液面面积为，则，
则水的体积为，解得.
故选：D.
7．B
【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得.
【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，
显然弧的长为，弧的长为，设，则，，
则，即，得，于是是的中点，，
因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，
所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.
故选：B
8．C
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，
又因为平面平面，，且平面，
所以平面， 所以①正确；
对于②中，由平面，且平面，可得，
又因为，且，平面，
所以平面，所以②正确；
对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；
对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，
若平面平面，且平面平面，可得平面，
又因为平面，所以，
因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.
故选：C.
9．ABD
【分析】选项A，由面面平行性质定理与线面平行判定定理可证；选项B，由面面平行判定定理及面面平行的传递性可得；选项C，假设线面垂直，由线面垂直的定义及平行关系转化线线角可推出矛盾；选项D，由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可证.
【详解】对于A，如图，连接，
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
由面面平行性质定理可得．
由，则四点共面，
因为平面，平面，
所以由线面平行判定定理可得平面，即平面，故A正确；
对于B，如图，连接，
由，则四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，同理，平面，
且，且平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以平面平面，B正确；
对于C，连接，
假设平面，平面，则，
由，则四边形是平行四边形，
所以，所以，
这与为正三角形矛盾，故C错误；
对于D，连接，
由，则四点共面.
由正方形中，，
又平面，平面，所以，
又平面，平面，，
所以平面，则有，同理，
平面，平面，，
所以平面，平面平面，
所以平面，又平面，
由面面垂直判定定理知平面面，即平面面，故D正确．
故选：ABD．
10．ABC
【分析】首先分析题意进行解析，进行画图，由于，，所以平面平面，平面，从而直线平面，故A正确；可由A知平面平面，故B正确，进行表面积计算可得C正确，利用等面积求出D错误.
【详解】作辅助线如图，对于A，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，面，面，故面，
同理得，面，面，故面，
又因为面，面，，
所以平面平面，平面，从而直线平面，故A正确；
对于B，由A知，平面平面，P点在平面内，
所以，故B正确；
对于C，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
对于D，设线面角为，易知，故最短时，直线与平面所成角的正弦值最大，
因为当时，最短，此时直线与平面所成角的正弦值最大，
先用等面积法求，，解得，
所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，故D错误，
故选：ABC．

11．BCD
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理可判断A选项，根据平面知识两点间距离最短，把几何图形展开成平面图形可判断B选项，易知四棱锥的外接球的直径为可判断C选项，把点线距转化为线线距，由线面平行的判定定理，把线线距转化为点面距可判断D选项.
【详解】对于A：连接，且，如图所示，当在中点时，

因为点为的中点，所以，因为平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为为正方形，所以.
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以A错误；
对于B：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示，

则的最小值为，直角斜边上高为，即，
直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以B正确；
对于C：易知四棱锥的外接球直径为，
半径，表面积，所以C正确；
对于D：点到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离，
因为，且平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作，
因为平面，所以,又,且,
故平面，平面，所以，因为，
且，平面，所以平面，所以点到平面的距离，
即为的长，如图所示，

在中，，，可得，
所以由等面积得，即直线到平面的距离等于，所以D正确，
故选：BCD.
12．ABC
【分析】首先做出图形，结合题目进行分析，F是线段的中点，故，故A正确.进而可得B正确. 由正方体的性质知，可知C正确.再进行分析则异面直线，EF所成角即为直线BC，EF所成角，故D错误.
【详解】如图所示，F是线段的中点，连接交于F，F是线段的中点，故，故A正确；
又，故，故B正确；
由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，
故是异面直线EF与所成角，故，故C正确：
由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线BC，EF所成角，
故是异面直线EF与所成角，故，故D错误，
故选：ABC．
13．
【分析】根据题意可求得底面圆半径，高，求出轴截面内切圆半径即可得圆锥的内切球半径为，再根据正四面体外接球与棱长之间的关系即可求得最大棱长为.
【详解】如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为，

因为侧面积为，所以，即．
因为，所以，所以．
棱长为的正四面体如图所示，

则正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为．
取轴截面，设内切圆的半径为，
则，解得，
即圆锥的内切球半径为．
因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即，
所以正四面体的最大棱长为．
故答案为：；
【点睛】方法点睛：在求解正四面体外接球（内切球）问题时，可根据正四面体的结构特征构造正方体求出外接球半径，也可直接利用结论：棱长为的正四面体的外接球半径为，内切球半径为.
14．
【分析】可能是的中垂面，的中垂面，的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.
【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图有如下三种可能.
截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则
或
或，
所以．
故答案为：
15．
【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.
【详解】设球O半径为R，由，得，
平面截球O所得截面小圆半径，由，得，
因此，球心O到平面的距离，
而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为，
因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，
于是得圆锥底面圆半径，
令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦，
点C为弦中点，如图，由题意，，
则，，，
所以.
故答案为：.
16．①③
【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解.
【详解】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内，
因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条；
对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线；
对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可；
故答案为：①③.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意首先证明平面，由此可得，又由三线合一可得，结合线面垂直的判定定理、性质定理即可得证.
（2）作出适当的辅助线，首先得，作出二面角的平面角结合解直角三角形的知识可得，然后利用平行关系得线线角，利用解三角形知识即可得解.
【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，
又因为底面为矩形，所以，
又平面，所以平面．
又平面，所以．
又侧面是正三角形，是的中点，所以．
又，，平面，
所以平面．
又因为平面，
所以．
（2）如图，
过点作，垂足为，易得为的四等分点，．
由于侧面底面，交线为，
所以底面，过作，垂足为，连接，
则即为二面角的平面角，其大小为．
在中，，所以，所以．
因为，，所以四边形为平行四边形，从而．
由（1）知平面，所以为直角三角形，
所以异面直线与所成角即为．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先证明，由三线合一可知，则．进一步证明，再结合线面垂直的判定定理即可得证.
（2）作出二面角的平面角，结合解三角形知识即可求解.
【详解】（1）依题设，是的中位线，所以，
又平面，平面，
则平面，
又平面，
所以．
又H是的中点，，
所以，则．
因为，且面，
所以面，
又平面，
则，
又，平面．
因此平面．
（2）
作于N，连．因为平面，
根据三垂线定理知，，就是二面角的平面角．
作于M，则，则M是的中点，则．
设，由得，，解得，
在中，，则，．
所以，故二面角为．
19．(1)体积为，表面积为；
(2)
【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得；
（2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得.
【详解】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理结合线面平行的判定定理即得；
（2）先根据几何关系以及线段长度找出四面体的高，再根据三棱锥的体积公式求解出结果.
【详解】（1）取的中点，连接，，
取的中点，连接，，
，，
又，，
，又，平面，
平面，
又平面，，
又，，
四边形为矩形，
且，
分别为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；

（2）延长，过过交于，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，且，，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为，
又因为为中点，
所以.

21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）由及面面垂直的性质可得平面，，结合即可证明.
【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）若，则为等边三角形，如图，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面.
又平面，所以.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明，，即可证明平面；
（2）通过构造面面平行，从而推出线线平行，再利用三角形相似求解.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以①，
又为等腰三角形，且D为PB中点，所以②，
又平面PBC，平面PBC，，结合①②，
故平面，即得证.
（2）取BE中点为M，连接，作图如下：
在中，因为分别为中点，所以，
又PE平面PEF，DM平面PEF，所以平面，
由已知得：平面，且，平面，平面，
所以平面平面；又平面平面，平面平面，
所以，则，；
因为，所以.
【点睛】（1）第一问考查由线线垂直，证明线面垂直，难点是找出线线垂直；（2）本题考查由面面平行，推出线线平行，从而由三角形相似，推出线段的比值，本题中的做法值得借鉴.
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