2023-2024学年数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
2．在中，为边上的中线，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．1
5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．（2，﹣1，2）
C． D．（1，﹣2，1）
6．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知，，，，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
10．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．当时，的内切圆的半径为
D．若为锐角三角形，则
三、填空题
13．已知向量，，若与共线，则实数 ．
14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且，则 .
15．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 .
16．在中，角所对的边分别为，且，则 ；若的面积，则 .
四、解答题
17．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角所对的边分别是，且______．
(1)求角的大小；
(2)若点满足，且线段，求面积的最大值．
18．设向量与不共线.
(1)若，，且与平行，求实数的值；
(2)若，，，求证：，，三点共线.
19．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
20．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，且的周长为，求的面积．
22．在中，角的对边分别为，
(1)求；
(2)设边的中线，且，求的面积．
参考答案：
1．A
【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.
【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，
所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，
等价于向东南走.
故选：A.
2．B
【分析】根据平面向量线性运算的性质进行求解即可．
【详解】∵为边上的中线，∴，
又∵点为的中点，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】根据给定条件，确定的形状，再利用投影向量的意义求解作答
【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由，可得的角平分线与垂直，
所以为等腰三角形，且，
又，得，所以，
又，所以,
所以为等边三角形，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
4．C
【分析】根据向量垂直的条件，向量数量积的定义及运算可得结果.
【详解】因为两个单位向量与的夹角为，且，
所以
，
即，
故选：C.
5．A
【分析】根据投影向量的求解公式计算即可．
【详解】因为，，所以，，
故向量在向量上的投影向量是.
故选：A．
6．A
【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.
【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A．

7．C
【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.
【详解】根据题意可得：，解得或；
当时，与共线同向，故舍去；
当时，，，
.
故选：C.
8．B
【分析】由向量的运算和三角函数即可得的值.
【详解】，，
，
，
因为，
所以，，
即，显然，
所以，，
又，所以或.
故选：B
9．AC
【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可.
【详解】因为，，所以，
则，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误.
故选:AC.
10．ABC
【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底.
【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，若，则，
故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得.
对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确；
对于B选项，，∴与不平行，故B项正确；
对于C选项，，∴与不平行，故C项正确；
对于D选项，，∴，故D项错误.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】利用向量的线性运算法则判断选项，根据点共线，由向量共线定理可知，再利用向量的线性运算法则求解即可判断选项.
【详解】对于选项，由已知条件可知，则正确；
对于选项，，则错误；
对于选项，连接，因为是线段的中点，
所以
，则正确；
对于选项，设，点三点共线，则存在，使得,
，
，
所以 ，消去得，解得，
所以，则正确；
故选：.
12．BC
【分析】确定，举反例得到A错误，设，则，根据余弦定理结合面积公式计算，B正确，确定，根据等面积法计算得到C正确，计算得到，D错误，得到答案.
【详解】，则，
对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误；
对选项B：设，则，，，
，当时，最大为，正确；
对选项C：时，，， ，
，故，设内切圆的半径为，
则，解得，正确；
对选项D：为锐角三角形，则，即，解得，
且，即，解得，故，错误；
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解.
13．
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为与共线，
所以，解得.
故答案为：.
14．
【分析】根据正弦定理将条件式边化角，利用三角恒等变换求出角，再利用向量数量积转化运算求得结果.
【详解】，由正弦定理得，
即，又，，
，，，
，又，
.又，
.
故答案为：.
15．
【分析】利用余弦定理可得答案.
【详解】由，得，
由余弦定理得，则，所以.
故答案为：.
16． /
【分析】由正弦定理化简已知式可得，即可求出；再由三角形的面积公式和余弦定理可求出.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
所以由可得：，
则，所以；
，解得：，
因为，
所以由余弦定理可得：，
则.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；
（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面积最值即可.
【详解】（1）选①，，
所以．
因为，所以，即，
所以．
选②．由及正弦定理得，
所以．
因为，，所以，
所以，
所以．
（2）如图，
点满足，则，故，又，
故，
即，即，当且仅当时，取等号，
故，即面积的最大值为．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量平行求待定系数；
（2）证明，可得，，三点共线.
【详解】（1），，则，.
因为与平行，所以有.解得.
（2）因为，，，
所以，所以.
所以与共线，
又因为有公共点，所以，，三点共线.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
21．(1)；
(2).
【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有，再由三角形内角性质即可求边长；
（2）应用余弦定理及已知得且，进而求得，最后应用面积公式求面积.
【详解】（1）由题设，由正弦定理有，
所以，而，故，又，
所以.
（2）由（1）及已知，有，可得，
又，即，
所以，故.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）在和中，分别利用余弦定理结合，求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因，
所以，
所以，
又，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
，即，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
则，所以，
则，
所以，
故，解得或（舍去），
所以的面积．
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