2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何精选题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何精选题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-04 19:50:05 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线，平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，，则原点到平面的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为
10．在正方体中，，分别为，中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．与平面成角正弦值为
D．平面与平面成角余弦值为
11．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使
D．存在有序实数对，使得
12．在三棱锥中，，，是棱的中点，是棱上一点，，平面，则（ ）
A．平面 B．平面平面
C．点到底面的距离为2 D．二面角的正弦值为
三、填空题
13．已知点，，，则点到直线的距离为 ．
14．已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 .
15．已知点是点在坐标平面内的射影，则 ．
16．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的有 .
①平面平面；
②的最小值为；
③若直线与所成角的余弦值为，则；
④若是的中点，则到平面的距离为.
四、解答题
17．如图，在长方体中，点、分别在棱，上，且，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，，，求平面与平面夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，，平面，，，，分别为棱，的中点．
(1)若点满足，求证：直线与直线共面；
(2)求二面角的大小．
19．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.
(1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面；
(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
20．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，所用术语形象丰富．如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．
(1)证明：三棱柱是“堑堵”；
(2)若，当“阳马”的体积最大值时，求平面与平面所成锐二面角的正切值．
21．如图①，在五边形中，四边形是梯形．是等边三角形．将沿翻折成如图②所示的四棱锥．
(1)求证：；
(2)若平面，且，求平面与平面所成二面角的正弦值．
22．如图，两个正四棱锥的底面都为正方形，顶点位于底面两侧，．记正四棱锥的体积为，正四棱锥的体积为．
(1)求的最小值；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案：
1．C
【分析】设，从而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】设，则，
故，解得，
所以点坐标为
故选：C
2．D
【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.
【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；
对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；
对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；
对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.
故选：D
3．A
【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解.
【详解】设设点D的坐标为，
由题意得
，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，解得，
故选：A
4．C
【分析】利用充分必要条件的概念进行判断即可.
【详解】若直线的方向向量，共线，则两直线平行或重合，
又因为直线，是空间中两条不同的直线，所以两直线，平行，即“，共线”是“直线，平行”的充分条件；
若直线，平行，则，共线，即“，共线”是“直线，平行”的必要条件；
综上，“，共线”是“直线，平行”的充分必要条件.
故选：C
5．C
【分析】根据点坐标可求得向量，计算可得结果.
【详解】易知，所以；
因此可得.
故选：C
6．C
【分析】根据题意，得到，再由面面平行的性质，证得，结合，即可求解.
【详解】如图所示，因为，所以，
因为平面平面，设平面平面，平面平面，所以，
又因为，所以
过点作，可得，
则为的中点，为的四等分点，
又因为，所以为的四等分点，所以.
故选：C．
7．C
【分析】将放在正方体中进行分析，结合空间向量法求解即可.
【详解】如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则，
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选：C．
8．A
【分析】利用空间向量求出平面的一个法向量，再由空间距离的向量求法即可求得结果.
【详解】易知，
设平面的一个法向量为，
则，解得，取可得；
又，
所以原点到平面的距离为.
故选：A
9．AB
【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，可得，所以，所以A正确；
对于B中，由空间的距离公式，可得，所以B正确；
对于C中，取向量，，
可得，，所以点到直线的距离为，所以C错误；
对于D中，由向量，，，
设平面的法向量为，则,
令，可得，，所以，
所以点到平面的距离为，所以D错误．
故选：AB．
10．ACD
【分析】构建空间直角坐标系，求相关线段对应的方向向量、平面的法向量，应用向量法求证位置关系，或求线面、面面角判断各项正误.
【详解】令正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，若面一个法向量为，
则，取，则，而，
所以，即，又面，故平面，A对；
，若面一个法向量为，
则，取，则，而，
所以不存在使，故平面不成立，B错；
由正方体性质知：面，面，则，又，
，面，则面，
所以是面的一个法向量，，
则与平面成角正弦值为，C对；
由是面的一个法向量，是面的一个法向量，
平面与平面成角余弦值为，D对.
故选：ACD
11．BC
【分析】根据题意，结合空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误，即可求解．
【详解】对于A中，由，，不能推得，也可能相交不一定垂直，所以A错误；
对于B中，假设共面，则存在实数，使得，
整理得，此时共面，这与已知矛盾，
所以一定可以构成一个空间基底，所以B正确；
对于C中，根据空间向量的基本定理知，对于空间中任一向量，
总存在有序实数对，使得，所以C正确；
对于D中，因为是一个空间基底，所以与不共面，
所不存在有序实数对，使得，所以D错误.
故选：BC.
12．ABD
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点，过点作交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面，求出可判断C；以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D．
【详解】对于A，因为平面，平面，所以．因为，
且直线平面，所以．
因为平面，平面，所以平面，A正确；
对于B，平面，平面，所以平面平面，B正确；
对于C，取的中点，连接，过点作交于点，因为，
所以．因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，，
C错误；
对于D，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，
因为是的中点，，所以，
因为，所以，即，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量，
所以，
设二面角为，所以，
所以二面角的正弦值为，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.
13．
【分析】利用点到直线距离的向量求法计算即得.
【详解】由点，，，得，
所以点到直线的距离.
故答案为：
14．1
【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案.
【详解】因为直线AB与平面平行，所以与垂直，
即，解得.
故答案为：1
15．
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用向量模的坐标表示即得.
【详解】由点是点在坐标平面内的射影，得，即，
所以.
故答案为：
16．①②④
【分析】根据正方体的性质有平面，进而根据面面垂直的判定定理，即可判断①；根据线面垂直的性质得出，则，推出的最小值，即可判断②；建立空间直角坐标系，设，，表示出，结合已知列出方程，即可判断③；先根据线面平行的判定定理得出判定平面，则到平面的距离，即转化为A到平面的距离.根据向量法，求解得出距离，即可判断④.
【详解】对于①，在正方体中，有平面，平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②，如图，连接，
因为平面，平面，
所以，，则，
所以，当最小时，有最小值.
显然，当时，最小.
因为，
所以当点与重合时，有最小值2，此时取最小值，故②正确；
对于③，如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，.
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
解得（舍去），或，
则此时点是中点，，故③错误；
对于④，由，且平面，平面，
知平面，
则到平面的距离，即为A到平面的距离.
是的中点，故，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，故，
所以点A到平面的距离为，
即到平面的距离为，④正确.
故答案为：①②④.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）分别证明四边形和为平行四边形即可；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，再用向量夹角余弦值求出即可.
（3）根据空间向量距离公式求得结果.
【详解】（1）证明：如图所示，在棱上取点，使得，
又，所以四边形为平行四边形，
则且，又且，所以且，
则四边形为平行四边形，所以，
同理可证四边形为平行四边形，则，所以.
所以四点共面
（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设平面的法向量为，.
由得，解得
令，则.
，设平面的法向量为，
由得，解得
令，则，
设两个平面夹角大小为，则.
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）平面的法向量，，
所以点到平面的距离.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件即可证明四点共面；
（2）分别求出平面与平面的法向量，根据面面夹角公式求解即可.
【详解】（1）因为平面，，平面，所以，．
因为底面为直角梯形，，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，，，，
所以，，，
因为，所以，，，四点共面，
所以直线与直线共面．
（2），
设是平面的一个法向量，则
令，则，，得，
设是平面的一个法向量，则
令，则，，得，
设平面与平面的夹角为，
因为，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以二面角的大小为.
19．(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）利用空间向量证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可.
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，,
因为点是棱上靠近的三等分点，即，则，
则，，，
设平面的一个法向量为，满足
令，则，则．
，∴，
又平面，所以平面．
（2）存在．
设，则，，，
设平面的一个法向量为，满足
令，则，故取．
，，
设平面的法向量为，
满足
令，则，故取，
若平面平面，则，即
解得，此时为的中点，则．
20．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，结合“堑堵”的结构即可证明；
（2）根据面面垂直的性质可得平面，设，，结合棱锥的体积公式和基本不等式计算可得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出面面角的余弦值，根据同角三角函数的关系即可求解.
【详解】（1）如图，在内任取一点，过点作于点于点．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．而平面，所以．同理，
又因为平面，所以平面．
因为在中，，所以三棱柱是“堑堵”．
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．设，，则．
所以“阳马”的体积.
（当且仅当时取“=”）．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
显然平面的法向量与平行，取．
又，故．
设平面的一个法向量为，由，
得不妨取．
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，
所以，．
所以平面与平面所成锐二面角的正切值为2．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知得到四边形为平行四边形，得到，再用是等边三角形，得到，从而证明平面，得出结果；
（2）建系，利用空间向量法求二面角，先求出平面的法向量和平面的法向量，代入公式求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接．
在梯形中，因为，
所以，且，所以四边形为平行四边形．
又，所以．
因为是等边三角形，所以，所以．
又平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）因为平面平面，所以，
由（1）知平面，
所以平面．
由（1）可知．又，所以，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，
则，
设平面的法向量，
由得，
取，得平面的一个法向量．
设平面的法向量，由得，
取，得平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为
22．(1)
(2)
【分析】（1）由锥体体积公式求出，，根据基本不等式求最值，
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求得结果.
【详解】（1）设正方形中心为，因为和都是正四棱锥，
所以面面，且共线．设．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
（2）由设，由（1）知，即，
以为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量，则,即，
，令，则，所以．
设直线与面所成角为．
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线，平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
7．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，，则原点到平面的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为
10．在正方体中，，分别为，中点，则（ ）
A．平面
B．平面
C．与平面成角正弦值为
D．平面与平面成角余弦值为
11．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使
D．存在有序实数对，使得
12．在三棱锥中，，，是棱的中点，是棱上一点，，平面，则（ ）
A．平面 B．平面平面
C．点到底面的距离为2 D．二面角的正弦值为
三、填空题
13．已知点，，，则点到直线的距离为 ．
14．已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 .
15．已知点是点在坐标平面内的射影，则 ．
16．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的有 .
①平面平面；
②的最小值为；
③若直线与所成角的余弦值为，则；
④若是的中点，则到平面的距离为.
四、解答题
17．如图，在长方体中，点、分别在棱，上，且，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，，，求平面与平面夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，，平面，，，，分别为棱，的中点．
(1)若点满足，求证：直线与直线共面；
(2)求二面角的大小．
19．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.
(1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面；
(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
20．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，所用术语形象丰富．如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．
(1)证明：三棱柱是“堑堵”；
(2)若，当“阳马”的体积最大值时，求平面与平面所成锐二面角的正切值．
21．如图①，在五边形中，四边形是梯形．是等边三角形．将沿翻折成如图②所示的四棱锥．
(1)求证：；
(2)若平面，且，求平面与平面所成二面角的正弦值．
22．如图，两个正四棱锥的底面都为正方形，顶点位于底面两侧，．记正四棱锥的体积为，正四棱锥的体积为．
(1)求的最小值；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案：
1．C
【分析】设，从而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】设，则，
故，解得，
所以点坐标为
故选：C
2．D
【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.
【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；
对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；
对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；
对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.
故选：D
3．A
【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解.
【详解】设设点D的坐标为，
由题意得
，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，解得，
故选：A
4．C
【分析】利用充分必要条件的概念进行判断即可.
【详解】若直线的方向向量，共线，则两直线平行或重合，
又因为直线，是空间中两条不同的直线，所以两直线，平行，即“，共线”是“直线，平行”的充分条件；
若直线，平行，则，共线，即“，共线”是“直线，平行”的必要条件；
综上，“，共线”是“直线，平行”的充分必要条件.
故选：C
5．C
【分析】根据点坐标可求得向量，计算可得结果.
【详解】易知，所以；
因此可得.
故选：C
6．C
【分析】根据题意，得到，再由面面平行的性质，证得，结合，即可求解.
【详解】如图所示，因为，所以，
因为平面平面，设平面平面，平面平面，所以，
又因为，所以
过点作，可得，
则为的中点，为的四等分点，
又因为，所以为的四等分点，所以.
故选：C．
7．C
【分析】将放在正方体中进行分析，结合空间向量法求解即可.
【详解】如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则，
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选：C．
8．A
【分析】利用空间向量求出平面的一个法向量，再由空间距离的向量求法即可求得结果.
【详解】易知，
设平面的一个法向量为，
则，解得，取可得；
又，
所以原点到平面的距离为.
故选：A
9．AB
【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，可得，所以，所以A正确；
对于B中，由空间的距离公式，可得，所以B正确；
对于C中，取向量，，
可得，，所以点到直线的距离为，所以C错误；
对于D中，由向量，，，
设平面的法向量为，则,
令，可得，，所以，
所以点到平面的距离为，所以D错误．
故选：AB．
10．ACD
【分析】构建空间直角坐标系，求相关线段对应的方向向量、平面的法向量，应用向量法求证位置关系，或求线面、面面角判断各项正误.
【详解】令正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，若面一个法向量为，
则，取，则，而，
所以，即，又面，故平面，A对；
，若面一个法向量为，
则，取，则，而，
所以不存在使，故平面不成立，B错；
由正方体性质知：面，面，则，又，
，面，则面，
所以是面的一个法向量，，
则与平面成角正弦值为，C对；
由是面的一个法向量，是面的一个法向量，
平面与平面成角余弦值为，D对.
故选：ACD
11．BC
【分析】根据题意，结合空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误，即可求解．
【详解】对于A中，由，，不能推得，也可能相交不一定垂直，所以A错误；
对于B中，假设共面，则存在实数，使得，
整理得，此时共面，这与已知矛盾，
所以一定可以构成一个空间基底，所以B正确；
对于C中，根据空间向量的基本定理知，对于空间中任一向量，
总存在有序实数对，使得，所以C正确；
对于D中，因为是一个空间基底，所以与不共面，
所不存在有序实数对，使得，所以D错误.
故选：BC.
12．ABD
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点，过点作交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面，求出可判断C；以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D．
【详解】对于A，因为平面，平面，所以．因为，
且直线平面，所以．
因为平面，平面，所以平面，A正确；
对于B，平面，平面，所以平面平面，B正确；
对于C，取的中点，连接，过点作交于点，因为，
所以．因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，，
C错误；
对于D，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，
因为是的中点，，所以，
因为，所以，即，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量，
所以，
设二面角为，所以，
所以二面角的正弦值为，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.
13．
【分析】利用点到直线距离的向量求法计算即得.
【详解】由点，，，得，
所以点到直线的距离.
故答案为：
14．1
【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案.
【详解】因为直线AB与平面平行，所以与垂直，
即，解得.
故答案为：1
15．
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用向量模的坐标表示即得.
【详解】由点是点在坐标平面内的射影，得，即，
所以.
故答案为：
16．①②④
【分析】根据正方体的性质有平面，进而根据面面垂直的判定定理，即可判断①；根据线面垂直的性质得出，则，推出的最小值，即可判断②；建立空间直角坐标系，设，，表示出，结合已知列出方程，即可判断③；先根据线面平行的判定定理得出判定平面，则到平面的距离，即转化为A到平面的距离.根据向量法，求解得出距离，即可判断④.
【详解】对于①，在正方体中，有平面，平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②，如图，连接，
因为平面，平面，
所以，，则，
所以，当最小时，有最小值.
显然，当时，最小.
因为，
所以当点与重合时，有最小值2，此时取最小值，故②正确；
对于③，如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，.
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
解得（舍去），或，
则此时点是中点，，故③错误；
对于④，由，且平面，平面，
知平面，
则到平面的距离，即为A到平面的距离.
是的中点，故，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，故，
所以点A到平面的距离为，
即到平面的距离为，④正确.
故答案为：①②④.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）分别证明四边形和为平行四边形即可；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，再用向量夹角余弦值求出即可.
（3）根据空间向量距离公式求得结果.
【详解】（1）证明：如图所示，在棱上取点，使得，
又，所以四边形为平行四边形，
则且，又且，所以且，
则四边形为平行四边形，所以，
同理可证四边形为平行四边形，则，所以.
所以四点共面
（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设平面的法向量为，.
由得，解得
令，则.
，设平面的法向量为，
由得，解得
令，则，
设两个平面夹角大小为，则.
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）平面的法向量，，
所以点到平面的距离.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件即可证明四点共面；
（2）分别求出平面与平面的法向量，根据面面夹角公式求解即可.
【详解】（1）因为平面，，平面，所以，．
因为底面为直角梯形，，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，，，，
所以，，，
因为，所以，，，四点共面，
所以直线与直线共面．
（2），
设是平面的一个法向量，则
令，则，，得，
设是平面的一个法向量，则
令，则，，得，
设平面与平面的夹角为，
因为，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以二面角的大小为.
19．(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）利用空间向量证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可.
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，,
因为点是棱上靠近的三等分点，即，则，
则，，，
设平面的一个法向量为，满足
令，则，则．
，∴，
又平面，所以平面．
（2）存在．
设，则，，，
设平面的一个法向量为，满足
令，则，故取．
，，
设平面的法向量为，
满足
令，则，故取，
若平面平面，则，即
解得，此时为的中点，则．
20．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，结合“堑堵”的结构即可证明；
（2）根据面面垂直的性质可得平面，设，，结合棱锥的体积公式和基本不等式计算可得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出面面角的余弦值，根据同角三角函数的关系即可求解.
【详解】（1）如图，在内任取一点，过点作于点于点．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．而平面，所以．同理，
又因为平面，所以平面．
因为在中，，所以三棱柱是“堑堵”．
（2）因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．设，，则．
所以“阳马”的体积.
（当且仅当时取“=”）．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
显然平面的法向量与平行，取．
又，故．
设平面的一个法向量为，由，
得不妨取．
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，
所以，．
所以平面与平面所成锐二面角的正切值为2．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知得到四边形为平行四边形，得到，再用是等边三角形，得到，从而证明平面，得出结果；
（2）建系，利用空间向量法求二面角，先求出平面的法向量和平面的法向量，代入公式求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接．
在梯形中，因为，
所以，且，所以四边形为平行四边形．
又，所以．
因为是等边三角形，所以，所以．
又平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）因为平面平面，所以，
由（1）知平面，
所以平面．
由（1）可知．又，所以，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，
则，
设平面的法向量，
由得，
取，得平面的一个法向量．
设平面的法向量，由得，
取，得平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为
22．(1)
(2)
【分析】（1）由锥体体积公式求出，，根据基本不等式求最值，
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求得结果.
【详解】（1）设正方形中心为，因为和都是正四棱锥，
所以面面，且共线．设．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
（2）由设，由（1）知，即，
以为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量，则,即，
，令，则，所以．
设直线与面所成角为．
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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