2024 年 1 高二期末质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D C A A B
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 ABD AB BCD ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 3；14．16；15． 2 2 ；16． 2 ．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解析】
（1）由已知，得
（2 a1 d) a1 4d 15 a1 1
，解得 ，故 a
a 3d 7 n
2n 1……….……………5分
1 d 2
（a1求对给 2 分，d 求对给 2 分，通项公式写对给 1 分）
（2）由bn ( 1)
n (2n 1) ……….……………7 分
得T2n 1 3 5 7 (4n 3) (4n 1) 2n . ……….……………10 分
18. 【解析】
（1）圆经过O 0，0 ，A 0，2 3 两点，得圆心在直线 y 3 上，…………1 分
y 3 x 1
由 得 ，即圆心坐标为 (1, 3 ) ， ……….……………3 分
y 3x y 3
又 r2 | CO |2 4， ……….……………5 分
- 1 -
{#{QQABCQYUggAIABIAAQgCEwG4CAMQkBCAACoOxBAMMAIAiBNABAA=}#}
故圆C 的标准方程为 (x 1)2 (y 3 )2 4 . ……….……………6 分
（2）设 P(x0 , y0 )
2 2
则 PO PA x 2 y 2 2 2 20 0 x0 (y0 2 3) 2x0 2(y 3)
2
0 6 （*），…………8 分
因为点 P 在圆C 上运动，则 (x 1)2 (y 3 )2 4， 0 0
故（*）式可化简为，
2 2
PO PA 2x 2 20 2[4 (x0 1) ] 6 4x0 12 ， ……….……………10 分
2 2
由 x [8,24]0 [ 1,3]得 PO PA 的取值范围为 . ……….……………12 分
19．【解析】
（1）抛物线的准线为 x 2，抛物线的方程为： y2 8x， ……….……………2 分
△AOB为等腰直角三角形， AOB 900 ,OA OB, 则直线OA : y x . ……………4 分
y x
于是 得 A(8,8) , S△OAB 642 . ……….……………6 分
y 8x
（2）设直线 l : x my n , A(x1, y1),B(x2, y2) ，
x my n
联立 ，
y
2 8x
得 y2 8my 8n 0, △=64m2 32n 0 y1 y2 8m, y1 y2 8n……….……………8 分
y y
又因为OA OB ,则 kOA k
1 2
OB 1, y1y2 x1x2 0. x1x2
y2 y2 y2 y2
由 y2 8x, 得 x 1 , x 2 , x x 1 2 n2 , 1 2 1 2
8 8 64
即 y y 21 2 x1x2 n 8n 0,解得 n 8或n 0(舍去) . ……….……………10 分
当 n 8时，满足△ 0.此时，直线 l 的方程 x my 8.
则 l 过定点 P(8,0). ……….……………12 分
20．【解析】
（1）取 AB 中点M ，连接 NM ，CM .
则 CD AM ，
- 2 -
{#{QQABCQYUggAIABIAAQgCEwG4CAMQkBCAACoOxBAMMAIAiBNABAA=}#}
即 四边形 AMCD 为平行四边形， ……….……………1 分
所以 C M∥ A D，
P P
又因为 A B A D，
所以 A B C M ① ……….……………2 分
D C Q
由 P D C D，CD∥AB ， D
N C
即 A B P D，
A B A BM
又 A B A D， PD AD D，
(1) (2)
所以 AB 平面 PAD
故 AB AP ，
又因为 N M∥ A P，
则 A B N M， ② ……….……………4 分
又 N M C M M，
结合①②可知， AB 平面 NCM ，
所以 C N A B，
又 在△PCD中， PD CD 6 且 PD CD，
在△BCM 中，CM BM 6且CM BM ，
则 PC BC 6 2，
又 N 为 PB中点，
所以 C N P B，
又 A B P B ，B
所以 CN 平面 PAB . ……….……………6 分
（2）
由 P D A D 6， A P 6 2，
则 P D2 A D2 A，2P
即 P D A D，
又 P D C D， AD CD，
故以 D 为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线
分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……….……………7 分
- 3 -
{#{QQABCQYUggAIABIAAQgCEwG4CAMQkBCAACoOxBAMMAIAiBNABAA=}#}
则 P 0，0，6 ，D 0，0，0 ，C 0，6，0 ， A 6，0，0 ， B 6，12，0 ， N 3，6，3 ，
故 CN 3，0，3 ， PA 6，0， 6 ，
2
因为 CQ CN 2，0，2 ，
3
所以 Q 2，6，2 ， PQ 2，6， 4 ，
设平面 PAQ 的法向量n1 x1，y1，z1 ，平面 ABCD的法向量n2 x2 ，y2 ，z2 ，
PA n 0
则 ，解得n1 3，1，3 ， ……….……………9 分
PQ n 0
易知 DP 平面 ABCD，
即 n2 0，0， 1， ……….……………10 分
3 3 19
所以 cos n1，n2 ，
1 19 19
3 19
所以 平面 PAQ 与平面 ABCD的夹角的余弦值为 . ……….……………12 分
19
（第（1）问其他正确证法按相应得分步骤给分.）
21．【解析】
（1）对于数列 an ，因为 2Sn 3n
2 3n ①，
所以 2Sn-1 （3 n-1）
2 （3 n-1）， n 2,n N* ②
① -②得 an 3n(n 2,n N
*)
由①式，当 n 1时，得 a1 3,也满足 an 3n，
所以 a *n 3n(n N ) . ……….……………3 分
因为数列 bn 为等比数列，由等比数列的性质得b1b2b b
3
3 2 729，得b2 9，
设数列 bn 的公比为 q ，又因为 a2 6， a6 18，
9 1
所以b1 a2 b3 a 即 6 9q 186 ，解得 q 3或- ， q 3
又因为 bn 为单调递增的等比数列，所以 q 3，
所以bn 3
n (n N*) ……….……………6 分
- 4 -
{#{QQABCQYUggAIABIAAQgCEwG4CAMQkBCAACoOxBAMMAIAiBNABAA=}#}
（2） 由于31=3，32 =9，33 =27，34 =81，35 =243，36 =729，所以
c1,c2 对应的区间为 0，3 ， 0，6 ，则 c1 c2 1，即有 2 个 1；
c3 ,c4 , ,c 0，98 对应的区间为 ， 0，12 , , 0，24 ，则 c3 c4 c8 2，即有 6 个 2；
c9 ,c10 , ,c26 对应的区间为 0，27 ， 0，30 , , 0，78 ，则 c9 c10 c26 3，即有 18 个 3；
c27 ,c28 , ,c80 对应的区间为 0，81 ， 0，84 , , 0，240 ，则 c72 82c 0 8 c 4，即有 54个 4；
c81,c82 , ,c100 对应的区间为 0，243 ， 0，246 , , 0，300 ，则 c81 c82 c100 5，即有 20
个 5；
所以T100 1 2 2 6 3 18 4 54 5 20 384 . ……….……………12 分
22．【解析】
（1）设点M 的坐标为 (x, y)，
1
因为 直线 A1M ，A2M 的斜率之积是 ，
2
y y 1
所以 ，
x 2 x 2 2
x2 y2
所以 1，
4 2
因为 点M 与 A1 ，A2 两点不重合，
x2 y2
所以 点M 的轨迹方程为 1(y 0) . ……….……………4 分
4 2
（2）显然 直线 l1 ，l2的斜率都存在且不为 0，
1
设 l1 : y k(x 1)， l2 : y (x 1) ，
k
A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，C(x3 , y3) ， D(x4 , y4 )
x2 y2
1
联立 2 2 2 2 4 2 ，得 (2k 1)x 4k x 2k 4 0，
y k(x 1)
显然 0，
4k 2
x1 x2
2k 2 1
所以 ，
2
2k 4x1x 2
2k
2 1
- 5 -
{#{QQABCQYUggAIABIAAQgCEwG4CAMQkBCAACoOxBAMMAIAiBNABAA=}#}
3k 2
所以 y 21y1 k (x1 1)(x2 1) k
2[x1x2 (x1 x2 ) 1] ， ……….……………6 分
2k 2 1
1
4( )
2
4
x3 x4
k
1
k
2 2
2( )2 1
k
同理 ，
12( )2 4 2
x k
2 4k
3
x4 1 2 k
2 2
2( ) 1
k
1
3( )2
k 3
y3 y4 ， ……….……………7 分 1 2
2( )2
k 2
1
k
因为 直线 l1 ，l2相互垂直，
所以 AC BD (AP PC) (BP PD) AP BP PC PD
(x1 1)(x2 1) y1y2 (x3 1)(x4 1) y3 y4
x1x2 (x1 x2 ) 1 y1y2 x3x4 (x3 x4 ) 1 y3y4
2k 2 4 4k 2 3k 2 2 4k 2 4 3
1 1
2k 2 1 2k 2 1 2k 2 1 k 2 2 k 2 2 k 2 2
3 3k 2 3 3k 2
……….……………9 分
2k 2 1 k 2 2
则
9(k 2 1)2 (k 2 1)2
AC BD 9 4
(2k 2 1)(k 2 2) (2k 2 1) (k 2 2) ，……….……………11 分
[ ]2
2
当且仅当 2k2 1 k2 2 ，即 k 1时取得等号，
所以 AC BD的最大值为 4 . ……….……………12 分
- 6 -
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2024年1月高二期末学习质量检测
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡二并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.直线x一y+1=0的倾斜角是
A.30°
B.45
C.60°
D.120
2双曲线2二之三1的渐近线方程是
1
A.y=士2x
B.y=
之2
C.y=士√2x
D.y=±2x
3.已知正项等比数列{am}中，a2·ag=16,则a5等于
A.2
B.4
C.5
D.8
4.在三棱柱ABC-A1B,C1中，若AC=a,AB=b,AA=c,则CB1=
A.a+b-c
B.a-b+c
C.-a+b-c
D.-a+b+c
5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一
堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会.某赞助商在沿途设置了10个饮水
补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二
站多3千瓶，以此类推，第n站比第n一1站多n千瓶(n≥2且n∈N),第10站雅备
的饮用水的数量为
A.45千瓶
B.50千瓶
C.55千瓶
D.60千瓶
高二数学试题第1页（共4页)
6.已知A(2,0),B(8,0),若直线y=x上存在点M使得AM·BM=0,则实数的取值范
围为
c(,-]v[+
D.(o,+c)
1日知双自线-茶-1a>0b>0),其中A,分别为双线的左顶点.有热点，户为
a-
双曲线上的点，满足PF2垂直于x轴且「AF2=2「PF。」，则双曲线的离心率为
A多
B
C.2
D.3
8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体
中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为
B.6
3
C
4
D.10
5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一条光线从点.A(-2,3)射出，射向点B(1,0).,经'x轴反射后过点C(a,1),则下列结论
正确的是
A.直线AB的斜率是一1
B.AB⊥BC
C.a=3
D.AB+BC|=42
、10.已知F1,F分别是椭圆C:5十石一
=1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A,B
的动点，则下列结论正确的是
A.椭圆C的焦距为6
B.△PF1F2的周长为16
C.2|PF1≤8
D.△PF,F:的面积的最大值为16
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C:D1中，点P,Q分别满足D1P=1D1B1,
D=DA,则
A.33∈(0,1)，使PQ⊥AD且PQ⊥B,D1
B.H入∈(0,1)，PQ∥平面ABB1A:
C.3入∈(0,1)，使PQ与平面ABCD所成角的正切值为3
D.V∈(0,1)，BP与AQ是异面直线
高二数学试题第2页（共4页）
