2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程精选题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程精选题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-04 19:51:42 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
3．设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．3
7．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（ ）
A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点
B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点
C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点
D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点
8．已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的方程为，则（ ）
A． B．的焦点可以在轴上
C．的焦距一定为8 D．的渐近线方程可以为
10．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
11．设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（ ）
A．点在上 B．
C．以为直径的圆与相离 D．直线与相切
12．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
三、填空题
13．双曲线的离心率为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 .
15．在直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，准线为，P为C上一点，垂直于点Q，M，N分别为，的中点，直线与x轴交于点R，若，则 .
16．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点P．若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值．
18．在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设点M，N在曲线C上，O为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，双曲线：的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)点是C上位于第一象限的一点，点A、B关于原点O对称，点A、D关于y轴对称.延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中.
（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？
（ⅱ）证明：不可能是的三等分线.
20．在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．
21．设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．
(1)求的值：
(2)设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．
22．设椭圆C1：1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率是，已知A是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线C2的准线l的距离为．
(1)求C1的方程及C2的方程；
(2)设l上两点P，Q关于轴对称，直线AP交C1于点B（异于点A），直线BQ交x轴于点D，若△APD的面积为，求直线AP的斜率．
参考答案：
1．D
【分析】根据离心率得出，的范围，利用离心率恰好是关于的方程的两不等实根，即可得出实数的取值范围.
【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率，双曲线的离心率，
关于的方程有两个不相等的实根，，
令，则解得：．
故选：D．
2．A
【分析】计算出点坐标，然后带入椭圆方程，化简即可得到关系的方程，进而得出.
【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为,
因为左焦点,所以直线的方程为,与
两式联立可得,
设，因为,
即，所以,
将点坐标代入双曲线方程得：,
上式整理得,即离心率.
故选：A.
3．C
【分析】设，由得到，根据抛物线焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得，设，
因为，所以，
故，
由抛物线焦半径公式得，
故.
故选：C
4．B
【分析】由题意可得，即有，由点在渐近线上，可得，解方程可得，进而得到所求双曲线方程.
【详解】因为双曲线C：的焦距为，
所以，即，所以，①
又因为双曲线的渐近线方程为：，且在C的渐近线上，
所以，②
由①②可得，，
所以双曲线C的方程为.
故选：B
5．C
【分析】先求出准线方程，根据抛物线的定义得出，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可得，点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，，解得.
故选：C.
6．C
【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积.
【详解】椭圆的半焦距，则，设点，
于是，消去得，
所以的面积.
故选：C
7．C
【分析】由题意得，分别令、即可判断.
【详解】由题意不妨设，则，即，
当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误；
当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误.
故选：C.
8．B
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确；
对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确；
对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确；
对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据方程为双曲线可得，且焦点在轴上，即A正确，错误；易知焦距为8，且当时，渐近线方程为，可得CD正确.
【详解】由题意得，解得，即A正确；
可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，所以B错误；
易知双曲线的焦距为，所以C正确；
显然当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，所以D正确．
故选ACD．
10．AC
【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
对于A中，双曲线的实轴长为，所以A正确；
对于B中，双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；
对于C中，设双曲线的右焦点，不妨设一条渐近线方程为，即，
可得焦点到渐近线的距离为，所以C正确；
对于D中，根据双曲线的性质，可得双曲线上的点到焦点的最短距离为，所以D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】A选项，联立直线与抛物线方程，根据根的判别式得到点在上；B选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C选项，证明出以为直径的圆与轴相切，得到C正确；D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，从而求出直线方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.
【详解】对于A，联立直线与的方程，消去得，因为与相切，
所以，即，所以点在上，A错误．
对于B，过点作垂直于的准线，垂足为，由抛物线定义知，
因为，所以，所以在中，，
由大边对大角得，B正确．
对于C，，由A选项与相切，切点为，可得，其中，
则的中点坐标为，
且，故半径为，
由于半径等于以为直径的圆的圆心横坐标，
故以为直径的圆与轴相切，所以与相离，C正确；
对于D，设直线方程为，与联立得，
所以，解得，则，
因为，所以直线方程为，
联立直线与曲线的方程得，
因为，所以直线与相切，D正确．
故选：BCD．
【点睛】抛物线的相关结论，
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.
12．CD
【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.
【详解】对于A项，双曲线的离心率为；椭圆的离心率为，故A错误；
对于B项，双曲线的离心率为；双曲线的离心率为，故B错误；
对于C项，椭圆的离心率为；椭圆的离心率为，故C项正确；
对于D项，方程可化为抛物线，方程可化为抛物线，而且抛物线的离心率均为1，故D项正确.
故选：CD.
13．
【分析】由双曲线的离心率定义即可求得.
【详解】因为，所以，.
故答案为：.
14．
【分析】根据椭圆定义确定，结合条件，利用余弦定理求出，进而利用面积公式求出的面积.
【详解】
根据椭圆方程，有，，因为点在椭圆上，所以有
，，
在中，由余弦定理有
，所以，所以的面积为：
故答案为：
15．2
【分析】根据题意画出图形，根据题意可得三角形为等边三角形，求出其边长，进而在分析可得答案．
【详解】根据题意，如图所示：
根据题意，设直线与轴交于点，连接，，
抛物线的方程为，其焦点为，准线为，
则，
又由，分别为，的中点，则，
又，，且，
则三角形是边长为4的等边三角形，则，且，
在中，，，则，
则，
故答案为：2.
16．/
【分析】由题意可得，进而，利用，和二倍角的正切公式计算可得，结合离心率的概念计算即可求解.
【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为,，O为的中点，
所以，，所以．
又，，
由，
得，所以．
故答案为：
17．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据条件列出关于、、的方程组求解即可.
（2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设的方程，联立直线方程与双曲线方程，由得到与的关系式，得到直线恒过定点，②斜率不存在时，再由得到直线方程，进而得出此时直线也恒过定点，进而证得存在定点为的中点，为的一半.
【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，
又由题知，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）证明：由（1）知，，设，，
① 当的斜率存在时，设的方程为：，
由得：，
，即：，
所以，，
以为直径的圆经过点，，
又，，
，
又，
，
即：，
化简得：，即：，
解得：或，且均满足，
当时，，直线恒过定点，
此时定点与点重合，与已知相矛盾，故舍去；
当时，，直线恒过定点，记为点；
②当的斜率不存在时，设的方程为：，
设，，，则，
此时，，
，
整理得：，解得：或，
或，，此时恒过定点.
综述：恒过定点.
又，即：，（、、三点都在直线上）
点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，即的中心，为该圆的半径，即的一半.
故存在定点，使得为定值6.
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路：
（1）把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点.
18．(1)
(2)定值为
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积.
【详解】（1）设，，，，，
，
，，
动点P的轨迹C的方程．
（2）依题的斜率不为0，所以设，，，
联立得，，
得，，．
又因为O到的距离，
，
．
又因为，，
化简得得，所以，
综上，的面积是定值，且该定值为．
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
19．(1)
(2)（ⅰ），成立；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合双曲线的几何性质，列出关于的方程组，求得的值，进而求得双曲线的标准方程；
（2）（ⅰ）根据题意，得到，，求得直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得点的坐标，列出不等式关系式，求得的范围，再由（ⅰ），求得直线的斜率并化简，得到，即，
（ⅱ）求得的范围，进而证得不可能是的三等分线.
【详解】（1）解：由双曲线，可得半焦距，
由题意得，解得，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：（ⅰ）由点是C上位于第一象限的一点，点A、B关于原点O对称，
可得，，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线有两个交点，则，且，
解得，所以，所以成立，
由，即且，解得，
所以的取值范围为；
又由（ⅰ）知
，
所以，所以.
（ⅱ）证明：因为，
所以，又，
所以不可能是的三等分线.
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出点Q的坐标，再用斜率坐标公式列式化简即得.
（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，并设出点的坐标，求出点的坐标，结合韦达定理计算求解即可.
【详解】（1）设，直线的斜率为，直线的斜率为，
依题意，，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为， ，
直线的方程分别为，联立这两个方程得
点的横坐标为，
由消去x得，，
于是，，
，
所以．
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
21．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出点坐标，并求出长，再结合二次函数探求最小值即得解.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.
【详解】（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，设焦距为，
设，则，而，
则，
而，则，即，因此，
由，得当时，，
即，化简得，又，解得，
所以．
（2）由（1）知，椭圆的方程为，点，
设，则，即，
斜率不为0的直线过点，设方程为，则，
由消去并整理得，显然，
则，即有，
因此，所以为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．(1)C1的方程为，抛物线C2的方程为.
(2)
【分析】（1）由题意，根据椭圆和双曲线的定义和性质列方程组求出，，的值，即可得出方程；
（2）设的方程为，联立方程组得出，，三点坐标，从而得出直线的方程，求出点坐标，根据三角形的面积解出即可得出答案.
【详解】（1）设点的坐标为，因为椭圆的离心率为，所以.
又为抛物线：（）的焦点，到抛物线的准线的距离为，
所以，，
解得：，，，此时.
所以椭圆的方程为：，抛物线的方程为：.
（2）如图：
不妨设直线的方程为：（）
联立解得：，可得.
联立，消去并整理得：.
解得：或，所以,
可得直线的方程为：.
令解得：，所以
可得.
因为的面积为，所以.
所以直线的斜率：.
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2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
3．设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．3
7．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（ ）
A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点
B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点
C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点
D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点
8．已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的方程为，则（ ）
A． B．的焦点可以在轴上
C．的焦距一定为8 D．的渐近线方程可以为
10．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
11．设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（ ）
A．点在上 B．
C．以为直径的圆与相离 D．直线与相切
12．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
三、填空题
13．双曲线的离心率为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 .
15．在直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，准线为，P为C上一点，垂直于点Q，M，N分别为，的中点，直线与x轴交于点R，若，则 .
16．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点P．若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值．
18．在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设点M，N在曲线C上，O为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，双曲线：的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)点是C上位于第一象限的一点，点A、B关于原点O对称，点A、D关于y轴对称.延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中.
（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？
（ⅱ）证明：不可能是的三等分线.
20．在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．
21．设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．
(1)求的值：
(2)设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．
22．设椭圆C1：1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率是，已知A是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线C2的准线l的距离为．
(1)求C1的方程及C2的方程；
(2)设l上两点P，Q关于轴对称，直线AP交C1于点B（异于点A），直线BQ交x轴于点D，若△APD的面积为，求直线AP的斜率．
参考答案：
1．D
【分析】根据离心率得出，的范围，利用离心率恰好是关于的方程的两不等实根，即可得出实数的取值范围.
【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率，双曲线的离心率，
关于的方程有两个不相等的实根，，
令，则解得：．
故选：D．
2．A
【分析】计算出点坐标，然后带入椭圆方程，化简即可得到关系的方程，进而得出.
【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为,
因为左焦点,所以直线的方程为,与
两式联立可得,
设，因为,
即，所以,
将点坐标代入双曲线方程得：,
上式整理得,即离心率.
故选：A.
3．C
【分析】设，由得到，根据抛物线焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得，设，
因为，所以，
故，
由抛物线焦半径公式得，
故.
故选：C
4．B
【分析】由题意可得，即有，由点在渐近线上，可得，解方程可得，进而得到所求双曲线方程.
【详解】因为双曲线C：的焦距为，
所以，即，所以，①
又因为双曲线的渐近线方程为：，且在C的渐近线上，
所以，②
由①②可得，，
所以双曲线C的方程为.
故选：B
5．C
【分析】先求出准线方程，根据抛物线的定义得出，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可得，点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，，解得.
故选：C.
6．C
【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积.
【详解】椭圆的半焦距，则，设点，
于是，消去得，
所以的面积.
故选：C
7．C
【分析】由题意得，分别令、即可判断.
【详解】由题意不妨设，则，即，
当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误；
当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误.
故选：C.
8．B
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确；
对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确；
对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确；
对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据方程为双曲线可得，且焦点在轴上，即A正确，错误；易知焦距为8，且当时，渐近线方程为，可得CD正确.
【详解】由题意得，解得，即A正确；
可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，所以B错误；
易知双曲线的焦距为，所以C正确；
显然当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，所以D正确．
故选ACD．
10．AC
【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
对于A中，双曲线的实轴长为，所以A正确；
对于B中，双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；
对于C中，设双曲线的右焦点，不妨设一条渐近线方程为，即，
可得焦点到渐近线的距离为，所以C正确；
对于D中，根据双曲线的性质，可得双曲线上的点到焦点的最短距离为，所以D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】A选项，联立直线与抛物线方程，根据根的判别式得到点在上；B选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C选项，证明出以为直径的圆与轴相切，得到C正确；D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，从而求出直线方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.
【详解】对于A，联立直线与的方程，消去得，因为与相切，
所以，即，所以点在上，A错误．
对于B，过点作垂直于的准线，垂足为，由抛物线定义知，
因为，所以，所以在中，，
由大边对大角得，B正确．
对于C，，由A选项与相切，切点为，可得，其中，
则的中点坐标为，
且，故半径为，
由于半径等于以为直径的圆的圆心横坐标，
故以为直径的圆与轴相切，所以与相离，C正确；
对于D，设直线方程为，与联立得，
所以，解得，则，
因为，所以直线方程为，
联立直线与曲线的方程得，
因为，所以直线与相切，D正确．
故选：BCD．
【点睛】抛物线的相关结论，
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；
中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.
12．CD
【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.
【详解】对于A项，双曲线的离心率为；椭圆的离心率为，故A错误；
对于B项，双曲线的离心率为；双曲线的离心率为，故B错误；
对于C项，椭圆的离心率为；椭圆的离心率为，故C项正确；
对于D项，方程可化为抛物线，方程可化为抛物线，而且抛物线的离心率均为1，故D项正确.
故选：CD.
13．
【分析】由双曲线的离心率定义即可求得.
【详解】因为，所以，.
故答案为：.
14．
【分析】根据椭圆定义确定，结合条件，利用余弦定理求出，进而利用面积公式求出的面积.
【详解】
根据椭圆方程，有，，因为点在椭圆上，所以有
，，
在中，由余弦定理有
，所以，所以的面积为：
故答案为：
15．2
【分析】根据题意画出图形，根据题意可得三角形为等边三角形，求出其边长，进而在分析可得答案．
【详解】根据题意，如图所示：
根据题意，设直线与轴交于点，连接，，
抛物线的方程为，其焦点为，准线为，
则，
又由，分别为，的中点，则，
又，，且，
则三角形是边长为4的等边三角形，则，且，
在中，，，则，
则，
故答案为：2.
16．/
【分析】由题意可得，进而，利用，和二倍角的正切公式计算可得，结合离心率的概念计算即可求解.
【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为,，O为的中点，
所以，，所以．
又，，
由，
得，所以．
故答案为：
17．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据条件列出关于、、的方程组求解即可.
（2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设的方程，联立直线方程与双曲线方程，由得到与的关系式，得到直线恒过定点，②斜率不存在时，再由得到直线方程，进而得出此时直线也恒过定点，进而证得存在定点为的中点，为的一半.
【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，
又由题知，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）证明：由（1）知，，设，，
① 当的斜率存在时，设的方程为：，
由得：，
，即：，
所以，，
以为直径的圆经过点，，
又，，
，
又，
，
即：，
化简得：，即：，
解得：或，且均满足，
当时，，直线恒过定点，
此时定点与点重合，与已知相矛盾，故舍去；
当时，，直线恒过定点，记为点；
②当的斜率不存在时，设的方程为：，
设，，，则，
此时，，
，
整理得：，解得：或，
或，，此时恒过定点.
综述：恒过定点.
又，即：，（、、三点都在直线上）
点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，即的中心，为该圆的半径，即的一半.
故存在定点，使得为定值6.
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路：
（1）把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点.
18．(1)
(2)定值为
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积.
【详解】（1）设，，，，，
，
，，
动点P的轨迹C的方程．
（2）依题的斜率不为0，所以设，，，
联立得，，
得，，．
又因为O到的距离，
，
．
又因为，，
化简得得，所以，
综上，的面积是定值，且该定值为．
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
19．(1)
(2)（ⅰ），成立；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合双曲线的几何性质，列出关于的方程组，求得的值，进而求得双曲线的标准方程；
（2）（ⅰ）根据题意，得到，，求得直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得点的坐标，列出不等式关系式，求得的范围，再由（ⅰ），求得直线的斜率并化简，得到，即，
（ⅱ）求得的范围，进而证得不可能是的三等分线.
【详解】（1）解：由双曲线，可得半焦距，
由题意得，解得，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：（ⅰ）由点是C上位于第一象限的一点，点A、B关于原点O对称，
可得，，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线有两个交点，则，且，
解得，所以，所以成立，
由，即且，解得，
所以的取值范围为；
又由（ⅰ）知
，
所以，所以.
（ⅱ）证明：因为，
所以，又，
所以不可能是的三等分线.
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出点Q的坐标，再用斜率坐标公式列式化简即得.
（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，并设出点的坐标，求出点的坐标，结合韦达定理计算求解即可.
【详解】（1）设，直线的斜率为，直线的斜率为，
依题意，，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为， ，
直线的方程分别为，联立这两个方程得
点的横坐标为，
由消去x得，，
于是，，
，
所以．
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
21．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出点坐标，并求出长，再结合二次函数探求最小值即得解.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.
【详解】（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，设焦距为，
设，则，而，
则，
而，则，即，因此，
由，得当时，，
即，化简得，又，解得，
所以．
（2）由（1）知，椭圆的方程为，点，
设，则，即，
斜率不为0的直线过点，设方程为，则，
由消去并整理得，显然，
则，即有，
因此，所以为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．(1)C1的方程为，抛物线C2的方程为.
(2)
【分析】（1）由题意，根据椭圆和双曲线的定义和性质列方程组求出，，的值，即可得出方程；
（2）设的方程为，联立方程组得出，，三点坐标，从而得出直线的方程，求出点坐标，根据三角形的面积解出即可得出答案.
【详解】（1）设点的坐标为，因为椭圆的离心率为，所以.
又为抛物线：（）的焦点，到抛物线的准线的距离为，
所以，，
解得：，，，此时.
所以椭圆的方程为：，抛物线的方程为：.
（2）如图：
不妨设直线的方程为：（）
联立解得：，可得.
联立，消去并整理得：.
解得：或，所以,
可得直线的方程为：.
令解得：，所以
可得.
因为的面积为，所以.
所以直线的斜率：.
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