2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程精选题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程精选题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-04 19:52:50 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．设圆，圆，则是两圆相切的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线过点，，则直线在轴上的截距是（ ）
A． B．3 C． D．
3．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知直线上点横坐标为，若圆存在两点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线：，：.若，则实数（ ）
A．0或 B．0 C． D．或2
6．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线和圆交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（ ）
A．曲线的方程为 B．
C．曲线的方程为 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是线段上的动点，点与点关于直线对称．则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点的坐标为
B．的最大值为4
C．当点在直线上时，直线的方程为
D．正弦的最大值为
11．已知圆，直线.则（ ）
A．直线与圆可能相切
B．圆被轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
12．已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值 .
14．对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ．
15．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为
16．已知曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于轴、轴和原点对称；
②当时，曲线共有四个交点；
②当时，
③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；
④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．
其中所有真命题的序号是 ．
四、解答题
17．已知圆，直线.
(1)证明：直线恒过定点；
(2)直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程.
18．已知直线：，圆C：.
(1)若直线截圆C所得的弦长为，求m的值；
(2)已知点，O为坐标原点，若圆C上存在点P，使，求m的取值范围.
19．已知直线过定点A.
(1)求点A的坐标；
(2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程.
20．已知的三个顶点分别为．
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
(2)求边上的高线的长．
21．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区 说明理由.
22．已知⊙C关于直线对称，且过点和原点O.
(1)求⊙C的标准方程；
(2)过点的直线l与⊙C交于A、B两点，且，求此时直线l的方程.
参考答案：
1．B
【分析】先根据两圆相切求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为，
故圆心距，
因为两圆相切可分为外切和内切，
当两圆外切时，圆心距，解得；
当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去），
所以是两圆相切的充分不必要条件.
故选：B．
2．D
【分析】求出直线的方程，令可解.
【详解】由题可得直线的斜率，
再由点斜式方程可得，
化简可得，令，
则直线在轴上的截距为．
故选：D．
3．D
【分析】由两直线平行首先求出参数，再由两平行直线之间的距离公式即可得解.
【详解】因为两直线平行，所以，解得，将化为，
由两条平行线间的距离公式得.
故选：D．
4．C
【分析】求出圆心和半径，得到圆心在直线上，根据与圆相切时，最大，求出，得到或，数形结合得到取值范围.
【详解】设圆心为，圆的半径为，
由于，故圆心在直线上，
当与圆相切时，最大．
由知，，所以，
所以，解得或．
要使得圆存在两点，使得，
则.
故选：C．
5．B
【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，直线：，：，满足，
当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，
综上，.
故选：B
6．C
【分析】求出点坐标，利用点到直线的距离公式可得，再根据的范围可得答案.
【详解】由，解得，
可得，
则到直线的距离，
因为，所以，所以.
故选：C.
7．A
【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，圆心到直线的距离，
解得，
故的取值范围是.
故选：A
8．D
【分析】利用圆的弦长公式即得解.
【详解】由题意知，圆心的坐标为，
所以，圆心到直线的距离，
所以，，
故选：D.
9．AB
【分析】根据已知得出，化简即可判断A、C项；求出圆心到直线的距离，即可判断B、D.
【详解】对于A、C项，由已知可得，，.
则由可得，，
平方整理可得，，
化为标准方程可得，，圆心为，半径.故A正确，C错误；
对于B、D项，圆心到直线的距离为，
所以，圆上点到直线的最小距离.故B正确，D错误.
故选：AB.
10．ABC
【分析】由题可得点在以为圆心，半径为1的圆上，设，则，可依次判断A,B,C选项，对D，当直线与圆相切时，正弦的最大，列式计算可求解判断.
【详解】如图，由题意可得点在以为圆心，半径为1的圆上，
设，，则，
对于A，当时，可得，
，，此时点的坐标为 ，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，当点在直线上时，可得，此时点的坐标为 ，
直线与圆相切，所以，所以直线的方程为，故C正确；
对于D，当直线与圆相切时，正弦的最大，设直线的斜率为，则直线的方程为，
有，解得，即，从而可得，
所以正弦的最大值为，故D错误．
故选：ABC．
11．BD
【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项.
【详解】，则恒成立，
故，则直线恒过，
因为，所以点在圆内部，
因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错；
对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确；
对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错；
因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确；
故选：BD.
12．ACD
【分析】根据题意求得直线方程再逐个检验点是否在直线上即可得出结论.
【详解】由题意可知，直线l的方程可表示为，
即；
经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上.
故选：ACD
13．(答案不唯一)
【分析】运用直线和圆的位置关系直接求解即可.
【详解】已知直线与圆C有两个不同的交点，且设圆心到直线的距离为，化简圆方程得，故有，解得.
故答案为：(答案不唯一)
14．或
【分析】根据圆心在直线且是与圆相切的一条定直线，即可根据二倍角公式求解切线斜率，进而可求解.
【详解】由得，
圆心，半径，显然直线与圆相切，
注意到圆心在定直线上，设直线的倾斜角为，
则另一条定直线的倾斜角为，且该直线过定点，
故该直线为，即．综上，直线为或．
故答案为：或
15．/
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解.
【详解】因为，，
所以直线与间的距离为，又，故，
过作直线垂直于，如图，
则可设直线的方程为，代入，得，则，
所以直线的方程，
将沿着直线往上平移个单位到点，设，
则，解得或（舍去），则，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，
有，即四边形为平行四边形，
则，即有，
显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
而，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解.
16．①②③
【分析】①将点代入方程，判断方程是否满足即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断.
【详解】①设点在上，
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；
②联立可得，即或，
当时，都有，即存在交点；
当时，都有，即存在交点；
综上，共有四个交点，正确；
③当时，则，
故，可得，
曲线上任意一点到原点距离
，
当时，
结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离
的最大值是3，正确.
④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，
设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为，
设，则，故，
故，故，故在的内部，
故的面积不大于的面积，故④错误.
故答案为：①②③
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程整理为关于的一次方程，令的系数以及常数项为零解方程组可得定点；
（2）根据直线恒过定点，当时，最小，求出斜率，进而可得直线方程.
【详解】（1）证明：整理得，
令，解得，
即直线恒过定点；
（2）圆即，所以圆心，半径，
又由（1）直线恒过定点且M在圆内，
若直线与圆交于两点，当时，最小，
所以，
此时直线，
即直线的方程为.
18．(1)或.
(2)
【分析】（1）利用半弦长、半径、圆心到直线的距离满足勾股定理，建立方程求解即可；
（2）利用建立不等式，求解即可.
【详解】（1）因为圆C：，
则圆心，半径，
则圆心到直线：的距离
，
若直线截圆C所得的弦长为，
则，
解得或.
（2）圆心在直线上，所以，
所以一定在圆C外，所以，
解得，
故m的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将化为，解方程组，即可得出答案；
（2）联立方程组，得出B点坐标，进而求出圆心以及半径，即可得出答案.
【详解】（1）可化为，
令，得，
所以，直线过定点.
（2）当时，，
联立方程组，解得，
即.
因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为，
所以，，
故以为直径的圆的标准方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；
（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.
【详解】（1）设的坐标为，则，，
即，所以 ，
则中线所在直线方程为，即 ．
（2）由题意得 ．
则直线的方程为，即
中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ．
21．(1)；（或）
(2)小次车会进入安全预警区，理由见解析
【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解.
（2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离
与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案.
【详解】（1）由题意得,,
设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,
所以解得
所以圆C的方程为；（或）
（2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径,
因圆C到直线的距离.
所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法，解方程组即可求解.
（2）根据垂径定理求解弦长，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为（），
由题意可知：，
解得，，，
可得圆C的标准方程为：.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，圆心到直线的距离为，此时，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即为.
因为，所以，
解得，所以直线l：.
综上所述：直线l的方程为或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册第二章直线和圆的方程精选题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1．设圆，圆，则是两圆相切的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线过点，，则直线在轴上的截距是（ ）
A． B．3 C． D．
3．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知直线上点横坐标为，若圆存在两点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线：，：.若，则实数（ ）
A．0或 B．0 C． D．或2
6．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线和圆交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（ ）
A．曲线的方程为 B．
C．曲线的方程为 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是线段上的动点，点与点关于直线对称．则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点的坐标为
B．的最大值为4
C．当点在直线上时，直线的方程为
D．正弦的最大值为
11．已知圆，直线.则（ ）
A．直线与圆可能相切
B．圆被轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
12．已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值 .
14．对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ．
15．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为
16．已知曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于轴、轴和原点对称；
②当时，曲线共有四个交点；
②当时，
③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；
④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．
其中所有真命题的序号是 ．
四、解答题
17．已知圆，直线.
(1)证明：直线恒过定点；
(2)直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程.
18．已知直线：，圆C：.
(1)若直线截圆C所得的弦长为，求m的值；
(2)已知点，O为坐标原点，若圆C上存在点P，使，求m的取值范围.
19．已知直线过定点A.
(1)求点A的坐标；
(2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程.
20．已知的三个顶点分别为．
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
(2)求边上的高线的长．
21．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区 说明理由.
22．已知⊙C关于直线对称，且过点和原点O.
(1)求⊙C的标准方程；
(2)过点的直线l与⊙C交于A、B两点，且，求此时直线l的方程.
参考答案：
1．B
【分析】先根据两圆相切求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为，
故圆心距，
因为两圆相切可分为外切和内切，
当两圆外切时，圆心距，解得；
当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去），
所以是两圆相切的充分不必要条件.
故选：B．
2．D
【分析】求出直线的方程，令可解.
【详解】由题可得直线的斜率，
再由点斜式方程可得，
化简可得，令，
则直线在轴上的截距为．
故选：D．
3．D
【分析】由两直线平行首先求出参数，再由两平行直线之间的距离公式即可得解.
【详解】因为两直线平行，所以，解得，将化为，
由两条平行线间的距离公式得.
故选：D．
4．C
【分析】求出圆心和半径，得到圆心在直线上，根据与圆相切时，最大，求出，得到或，数形结合得到取值范围.
【详解】设圆心为，圆的半径为，
由于，故圆心在直线上，
当与圆相切时，最大．
由知，，所以，
所以，解得或．
要使得圆存在两点，使得，
则.
故选：C．
5．B
【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，直线：，：，满足，
当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，
综上，.
故选：B
6．C
【分析】求出点坐标，利用点到直线的距离公式可得，再根据的范围可得答案.
【详解】由，解得，
可得，
则到直线的距离，
因为，所以，所以.
故选：C.
7．A
【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，圆心到直线的距离，
解得，
故的取值范围是.
故选：A
8．D
【分析】利用圆的弦长公式即得解.
【详解】由题意知，圆心的坐标为，
所以，圆心到直线的距离，
所以，，
故选：D.
9．AB
【分析】根据已知得出，化简即可判断A、C项；求出圆心到直线的距离，即可判断B、D.
【详解】对于A、C项，由已知可得，，.
则由可得，，
平方整理可得，，
化为标准方程可得，，圆心为，半径.故A正确，C错误；
对于B、D项，圆心到直线的距离为，
所以，圆上点到直线的最小距离.故B正确，D错误.
故选：AB.
10．ABC
【分析】由题可得点在以为圆心，半径为1的圆上，设，则，可依次判断A,B,C选项，对D，当直线与圆相切时，正弦的最大，列式计算可求解判断.
【详解】如图，由题意可得点在以为圆心，半径为1的圆上，
设，，则，
对于A，当时，可得，
，，此时点的坐标为 ，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，当点在直线上时，可得，此时点的坐标为 ，
直线与圆相切，所以，所以直线的方程为，故C正确；
对于D，当直线与圆相切时，正弦的最大，设直线的斜率为，则直线的方程为，
有，解得，即，从而可得，
所以正弦的最大值为，故D错误．
故选：ABC．
11．BD
【分析】直线l：，由求出定点，由点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，即可判断A选项；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断B选项；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线l，由弦长公式即可判断C选项，求出直线l的方程即可判断D选项.
【详解】，则恒成立，
故，则直线恒过，
因为，所以点在圆内部，
因为直线恒过定点，所以直线与圆恒相交，所以A错；
对于圆，令，得，解得，所以圆被轴截得的弦长为，所以B选项正确；
对于选项：由于点在圆的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，最短弦长为，故C错；
因为圆心，直线恒过定点，直线被圆截得的弦长最短时，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以D正确；
故选：BD.
12．ACD
【分析】根据题意求得直线方程再逐个检验点是否在直线上即可得出结论.
【详解】由题意可知，直线l的方程可表示为，
即；
经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上.
故选：ACD
13．(答案不唯一)
【分析】运用直线和圆的位置关系直接求解即可.
【详解】已知直线与圆C有两个不同的交点，且设圆心到直线的距离为，化简圆方程得，故有，解得.
故答案为：(答案不唯一)
14．或
【分析】根据圆心在直线且是与圆相切的一条定直线，即可根据二倍角公式求解切线斜率，进而可求解.
【详解】由得，
圆心，半径，显然直线与圆相切，
注意到圆心在定直线上，设直线的倾斜角为，
则另一条定直线的倾斜角为，且该直线过定点，
故该直线为，即．综上，直线为或．
故答案为：或
15．/
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解.
【详解】因为，，
所以直线与间的距离为，又，故，
过作直线垂直于，如图，
则可设直线的方程为，代入，得，则，
所以直线的方程，
将沿着直线往上平移个单位到点，设，
则，解得或（舍去），则，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，
有，即四边形为平行四边形，
则，即有，
显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
而，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解.
16．①②③
【分析】①将点代入方程，判断方程是否满足即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断.
【详解】①设点在上，
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；
②联立可得，即或，
当时，都有，即存在交点；
当时，都有，即存在交点；
综上，共有四个交点，正确；
③当时，则，
故，可得，
曲线上任意一点到原点距离
，
当时，
结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离
的最大值是3，正确.
④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，
设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为，
设，则，故，
故，故，故在的内部，
故的面积不大于的面积，故④错误.
故答案为：①②③
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程整理为关于的一次方程，令的系数以及常数项为零解方程组可得定点；
（2）根据直线恒过定点，当时，最小，求出斜率，进而可得直线方程.
【详解】（1）证明：整理得，
令，解得，
即直线恒过定点；
（2）圆即，所以圆心，半径，
又由（1）直线恒过定点且M在圆内，
若直线与圆交于两点，当时，最小，
所以，
此时直线，
即直线的方程为.
18．(1)或.
(2)
【分析】（1）利用半弦长、半径、圆心到直线的距离满足勾股定理，建立方程求解即可；
（2）利用建立不等式，求解即可.
【详解】（1）因为圆C：，
则圆心，半径，
则圆心到直线：的距离
，
若直线截圆C所得的弦长为，
则，
解得或.
（2）圆心在直线上，所以，
所以一定在圆C外，所以，
解得，
故m的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将化为，解方程组，即可得出答案；
（2）联立方程组，得出B点坐标，进而求出圆心以及半径，即可得出答案.
【详解】（1）可化为，
令，得，
所以，直线过定点.
（2）当时，，
联立方程组，解得，
即.
因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为，
所以，，
故以为直径的圆的标准方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；
（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.
【详解】（1）设的坐标为，则，，
即，所以 ，
则中线所在直线方程为，即 ．
（2）由题意得 ．
则直线的方程为，即
中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ．
21．(1)；（或）
(2)小次车会进入安全预警区，理由见解析
【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解.
（2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离
与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案.
【详解】（1）由题意得,,
设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,
所以解得
所以圆C的方程为；（或）
（2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径,
因圆C到直线的距离.
所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法，解方程组即可求解.
（2）根据垂径定理求解弦长，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为（），
由题意可知：，
解得，，，
可得圆C的标准方程为：.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，圆心到直线的距离为，此时，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即为.
因为，所以，
解得，所以直线l：.
综上所述：直线l的方程为或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)