2023-2024学年数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用精选题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用精选题
一、单选题
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上单调递增，则a和b的可能取值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数的定义域为，，且在恒有成立，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在处可导，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．8
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为其定义域上的减函数
C．有唯一的零点 D．的图象与直线相切
10．下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列求导运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C． D．
三、填空题
13．设函数的导数为，且，则 .
14．已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为 ．
15．已知是函数的导函数，且，则 ．
16．对任意，函数恒成立，求a的取值范围 ．
四、解答题
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.
18．已知函数且.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求证：，.
19．设，满足．
(1)证明：若，则当时，．
(2)若存在满足，证明．
20．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
21．已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)过点作曲线的切线，求的方程.
22．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)讨论在上的零点个数．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，求得，令，即可求得函数的单调递减区间.
【详解】由函数，可得其的定义域为，且，
令，解得，所以函数的单调递减区间是．
故选：B．
2．A
【分析】求出，求导，得到切线斜率，求出切线方程.
【详解】由题得，切点坐标为，，
所以函数在切点处的切线斜率，
切线方程为，化简得．
故选：A．
3．C
【分析】设切点坐标，利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得，再由点为交点，则坐标满足两曲线方程，由此建立等量关系，再利用导数研究函数的值域即可.
【详解】设点的横坐标为，则由可得，
又可得，
且两条曲线在点处的切线重合，
所以切线的斜率，解得或（舍去），
即点的横坐标为，
由点为曲线：与曲线：的交点，
所以，即，
令，
则，
令可得，
由知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当，
则实数的取值范围为.
故选：C.
4．A
【分析】由对称性可得，从而分离参数得，令，利用导数求得函数最小值为，从而得解.
【详解】设，则点在的图象上，
，即.
令，则，
令，则，此时递增，
令，则，此时递减，
最小值为.
故选：A.
5．D
【分析】根据题意可得，构建函数，利用导数分析可知在上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.
【详解】因为，
两边取对数得：，
令，
则，
令，则，
可知在上单调递增，
因为，则，可知恒成立，
则，即，可得，
则在上单调递增，可得，
可得，即，
又因为在上单调递增，所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数，利用导数判断其单调性.
6．D
【分析】二次求导得到在上单调递增，要想在上单调递增，只需，A选项，构造，，求导得到单调性，求出，得到；B选项，；C选项，令，，求导得到其单调性，求出；D选项，构造，，求导得到单调性，得到，从而求出.
【详解】，且，且，
，
令，则恒成立，
故在上单调递增，
要想在上单调递增，只需，
即只需，
A选项，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，即，
故，A错误；
B选项，由于，故，B错误；
C选项，，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，
故，即，C错误；
D选项，，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，
故，即，
故，D正确.
故选：D
【点睛】比较大小或证明不等式常用的不等式放缩如下：，，，，等，根据不等式特征，选择合适的函数进行求解.
7．D
【分析】由题意，可得函数的图象关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，从而可判断出函数的正负分布情况，即为或，进而可得出答案.
【详解】因为，所以函数的图象关于对称，
因为在恒有成立，
所以函数在上单调递增，
由对称性可得函数在上单调递减，
又，所以，
故当时，，当或时，，
由，得或，
所以或，解得或，
即的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由题意得出函数的对称性及单调性，从而判断出函数的正负分布情况，是解决本题的关键.
8．A
【分析】利用计算即可.
【详解】
.
故选：A.
9．AC
【分析】A：根据奇偶性定义进行判断；B：利用导数判断单调性；C：根据结合单调性进行判断；D：考虑斜率为的切线方程，然后作出判断.
【详解】对于A：的定义域为且关于原点对称，
又，所以为奇函数，故A正确；
对于B：，所以在定义域内单调递增，故B错误；
对于C：因为且在定义域内单调递增，所以有唯一零点，故C正确；
对于D：因为，令，所以，
所以斜率为的切线方程为：，，
即，，显然，故D错误；
故选：AC.
10．ABC
【分析】利用函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；利用函数在上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，则，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，则，即，即，即，
所以，，A对；
对于B选项，令，则，
当时，，即函数在上为增函数，
所以，，即，B对；
对于C选项，令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，因为，则，
所以，，C对；
对于D选项，令，其中，则，
令，
由C选项可知，对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，则，
则函数在上单调递增，
因为，则，即，
又因为，即，D错.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
11．AD
【分析】根据求导公式与求导法则，可得答案.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确；
故选：AD.
12．BC
【分析】根据已知得出关于对称.假设关于对称，求导即可得出矛盾；根据偶函数的性质，得出，两边同时除以，即可判断B；根据已知，结合导函数得出关于对称，也关于对称，即可得出，，进而推得，即可得出C项；根据已知，无法确定.
【详解】对于A项，因为为偶函数，
所以关于对称.
若关于对称，则导函数关于点对称，
这与关于对称矛盾，所以A错误；
对于B项，因为为偶函数，
所以，即，
所以，所以B正确；
对于C项，因为为偶函数，
所以为奇函数，
所以关于对称，关于对称，所以.
又关于对称，所以.
所以，，
所以，故C正确；
对于D项，由A知，关于点对称，.
但无法确定.故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，可得，
所以，即，
解得：.
故答案为：.
14．
【分析】根据两点间距离公式，函数可看作上任意一点与图象上任意一点的距离的平方，利用平行的切线切点求解即可.
【详解】设，，
则函数可看作图象上任意一点与图象上任意一点的距离的平方．
设函数在点的切线平行于直线，
由，令，解得，所以切点坐标为，
点到直线的距离，此时的最小值为8．
所以存在唯一的，使．
过点且与直线垂直的直线方程为，
联立，解得，．
所以，时，存在，使成立．
故答案为：
15．
【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：．
故答案为：.
16．
【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案.
【详解】由题意得，
因为，所以，
即，
令，则恒成立，
，
令得，，单调递增，
令得，，单调递减，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
因为，所以恒成立，故，
当时，，此时满足恒成立，
当，即时，由于在上单调递增，
由得，
令，，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
故，，
a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；
（2）对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
则，则，，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
18．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求解，对的正负讨论，即的范围讨论，进行判断即可；
（2）将问题转化为当时，，恒成立.作差之后令构造函数，求导，再对分子构造函数，再次求导判断函数的单调性，找到的最小值即可证明.
【详解】（1）
当时，在单调递减；
当时，当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
综上：
当时，在单调递减；
当时，在单调递减；在单调递增.
（2）证明：
因为，所以，
所以由（1）知在单调递减；在单调递增，
，
令，
则，
，
设，
则在恒成立，所以在上单调递减，
又，
所以，使，
所以，单调递增；
，单调递减；
所以，
所以，为递减函数，
所以，
所以，
所以时，，.
【点睛】思路点睛：第一问，利用导数研究函数的单调性（含参），注意导函数结构，对影响其正负的点讨论，进行判断即可；第二问，不等式恒成立问题转化为最值，构造函数求导，用导数判断其单调性，再找到最小值，期中可能根据需要多次构造函数求导判断其单调性.
19．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）构造，求导后得到其单调性，再构造，，得到，从而证明出结论；
（2）在（1）的基础上得到结论.
【详解】（1）令，
则，
由于，，
故，
即，
又，，，故，
由于在上单调递减，故，
所以恒成立，
所以在上单调递增，
设，，
则，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，故，
所以在上单调递减，
由于，，故，
即，
故，即；
（2）存在满足，
即在上有根，
由（1）可得与等号成立的条件均为
故若存在满足，则有.
【点睛】构造函数证明不等式或比较大小，是高考常考题目，需要将不等式变形为同种结构或常见的不等式，如或，再构造出适当的函数进行求解.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）易知0是函数的一个极值点，则函数有2个零点，利用导数讨论函数的性质可得，即.由零点的存在性定理和即可求解；
（2）由（1），设，只需证．由得，令得，则只需证，利用导数讨论函数的性质得出，即可证明.当然也可以采用对称设法来证明.
【详解】（1）由题意，得，
由，得或，所以0是函数的一个极值点．
所以有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和．
令，则．
当时，恒成立，故在定义域上是增函数，不可能有2个零点；
当时，由，得，由，得，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，即，所以．
又．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．

令，则，令得，
令得，所以在上递增，在上递减，
所以，，
所以，
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．
因为所以，
综上，的取值范围是．
（2）证明：由（1）知，0是函数的一个极值点．不妨设，所以只要证明．
由得，即两式相除得．
令，则．
所以，所以．
所以要证明，只要证明，
即，其中，所以．
所以只要证明．令，
所以，从而恒成立，
所以在上是减函数，所以．
所以在上是增函数，所以，即证：．
另解：由，知，所以，且为的两根．
记，则，当，，当，
故在上递增，在上递减．
不妨取，所以要证，即要证，
只要证，又，故只要证，
即要证，也即要证(#)．
令，则．
而当时，，故在上递减，
故，故在上递增，故，所以(#)成立，
故．
【点睛】破解含双参不等式证明题，先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程.
（2）设切点，利用导函数求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再将点代入切线方程，求出，进而求得切线方程.
【详解】（1），
因此，所以在点处的切线方程为：，即.
（2）设切点，则切线的斜率为，
切线为过，
所以整理得，从而斜率，
所以切线的方程为.
22．(1)
(2)2
【分析】（1）对函数求导后令可得，即可求得；
（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论，易知是其中一个零点，再通过构造函数利用零点存在定理即可得出在上有2个零点．
【详解】（1）（1）．
令可得，解得．
所以．
（2）由（1）中可得，
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，
即可得0是的一个零点．
②当时，
设，则恒成立，
即在上单调递增．
又，，
根据零点存在定理可知，使得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
因为，
根据零点存在定理可知，使得．
综上所述，在上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：求解零点个数问题时要充分利用函数特征，由导函数判断出其单调性并结合零点存在定理即可得出零点个数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)