2023-2024学年数学人教A版选择性必修第二册第四章数列精选题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学人教A版选择性必修第二册第四章数列精选题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-04 19:54:40 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学人教A版选择性必修第二册第四章数列精选题
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．25 C．或 D．或0
2．已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
4．在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
5．等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．8092 B．4048 C．4046 D．2023
6．若数列的前五项分别为，，，，，则下列最有可能是其通项公式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．36 B．54 C．28 D．42
8．在等差数列为中，为其前项和，，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列 B．
C． D．使成立的的最小值为4046
10．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数（，均为常数）的图象上，则为等差数列
B．若是等差数列，则是等比数列
C．若是等差数列，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
12．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 .
14．已知为等比数列，，，则 ．
15．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ．
16．在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
17．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前项和，若对任意的正整数都成立，求实数的取值范围.
18．已知等差数列的公差与等比数列的公比相同，，为数列的前项和，.
(1)求和的通项公式；
(2)记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列（相同的数排列两次），求数列前50项的和.
19．已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
20．记为数列的前n项和，当时,．且．
(1)求，；
(2)（i）当n为偶数时，求的通项公式；
（ⅱ）求．
21．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
22．设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.
(1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；
(2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”
①求d的值和数列的通项公式：
②设，直接写出数列中最小的项.
参考答案：
1．A
【分析】由可判断，分和讨论，结合等比数列前n项和公式求解运算.
【详解】由，，
当时，，成立，，
当时，由，得，即，
解得或（舍），又，此情况不合题意，
综上，，.
故选：A.
2．B
【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解.
【详解】由题意数列满足，且，
所以数列是等差数列，且，
所以，
当时，，
又，
所以，
所以，而，所以当或时，取最小值，
当时，，当时，，
综上所述，的最小值为5.
故选：B.
3．A
【分析】求出数列的一个周期为4，且，从而得到数列前2025项的积.
【详解】因为，所以，，
，，……，
故为一个周期为4的数列，
其中，
因为，所以数列前2025项的积为.
故选：A
4．B
【分析】利用等比数列性质得到，进而求出答案.
【详解】由等比数列性质得，
又，所以.
故选：B
5．C
【分析】由等差数列的性质得到，利用求和公式和等差数列性质求出答案.
【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得，
所以．
故选：C．
6．C
【分析】利用观察法求解.
【详解】数列，，，，，
，，，，，
所以数列的一个通项公式是，
故选：C.
7．D
【分析】利用等比数列前项和公式整体代入计算即可求得.
【详解】根据题意设等比数列的首项为，公比为，易知；
由可得，
两式相除可得，即；
所以.
故选：D
8．B
【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：B
9．ACD
【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答.
【详解】在等差数列中，由，得，即，
因此等差数列为递减数列，公差小于0，A正确；
又，所以，整理得，
因此，，
结合A选项等差数列为递减数列，则的最大值是， 则，C正确；
因为，
则，结合，，则，故B错误；
，且当时，，所以使成立的n的最小值是4046，D正确.
故选：ACD
10．BCD
【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD.
【详解】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
11．AB
【分析】结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，由点在函数（k，b均为常数）的图象上，可得，
因为为常数，所以为等差数列.A正确；
对于B，因为为等差数列，所以为常数，所以为常数，所以是等比数列，故B正确；
对于C，，所以，
又因为，所以公差，所以当或时，最大，C错误；
对于D，，，，，所以不是等比数列，D错误.
故选：AB
12．AB
【分析】根据数列的递推公式即可判断AC；利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断BD.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，，
，，故A正确；
对于B，设数列的前项和为，
；
，
故，故B正确；
对于C，由A可知，，C错误；
对于D，
，
，
故，故D错误.
故选：AB
13．
【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可.
【详解】由已知，，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】设公比为．由题可得，
所以，即，
又，所以．
故答案为：
15．
【分析】当时，，当时，，推出，利用累加法可得，从而求得，即可求解，根据，即可求解.
【详解】当时，①，当时，②，
由①②可得，，
所以，
累加可得，，
所以，
令且为奇数)，，当时，成立，
所以当为奇数，，
当为奇数，，
所以当为偶数，，
所以
故；
根据
所以的前项的和.
故答案为：；
16．②③
【分析】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④.
【详解】对于①，时，为常数，
故是等方差数列，①错误；
对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）
则为常数，
故（，k为常数）是等差数列，②正确；
对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数），
则，
故为常数，
则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确；
对于④，若既是等方差数列，又是等差数列，
则时，，且（d为常数），
则，
当时，则为常数列，满足是等方差数列，
若，则不为等比数列，④错误；
故答案为：②③
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解等方差数列的定义，明确其含义，并由此结合等差数列以及等比数列的定义求解即可.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）令原递推式中的为，然后两式做差可得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可得，并观察出，进而转化为，解不等式即可.
【详解】（1）因为①，
所以当时，②,
①－②，得，得，
当时，满足，
所以；
（2），
故
，
明显，所以，
∴，即或.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先求解等差数列的基本量，再利用通项公式分别求等差、等比通项即可；
（2）先列举两个数列寻找各项大小规律，再确定两数列的项数，再分组求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
因为，
所以，则，
所以，
由等差数列的公差与等比数列的公比相同，
则等比数列的公比为，，则.
（2）数列中的项从小到大依次为1，4，16，64，256，…，
而，，
依题意，新数列的前50项中，数列的项只有前4项，数列有46项，
又，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系即可求证是等比数列，由等比数列的通项即可求解，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）当时，，得，
由，得，
所以，化简得，
又，所以，即数列是等比数列，且公比．
所以．
（2）由（1）得，
所以．
则
．
20．(1)，.
(2)（i）（n为偶数）；（ⅱ）
【分析】（1）根据递推公式令、结合运算求解；
（2）（i）根据递推公式可得，利用构造法求通项公式；（ⅱ）根据递推公式可得，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）令，可得；
令，可得；
因为，可得，.
（2）（i）当n为偶数时，则，，
可得，且，
可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列，
则，所以（n为偶数）；
（ⅱ）当n为偶数时，则，即，
可得，
所以
，
所以.
21．(1)；
(2)10.
【分析】（1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；
（2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果.
【详解】（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的的最小值为10.
22．(1)不是，理由见解析
(2)①，；②
【分析】（1）直接由“M数列”的定义进行判断即可.
（2）①由题意关于的方程即恒有正整数解，结合数论知识即可求解出；②由题意得，故当当时或当时，取最小值.
【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下：
∵，当时，，此时找不到，使得.
所以数列不是“M数列”.
（2）①是等差数列，且首项，公差，
则，
故对任意，总存在，使得成立，
则，其中为非负整数，
要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，
又，所以，所以.
②∵，所以.
由的单调性知在为减函数，在为增函数，
当时，；当时，.
所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是得到关于的方程恒有正整数解，由此得出，从而顺利得解.
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2023-2024学年数学人教A版选择性必修第二册第四章数列精选题
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．25 C．或 D．或0
2．已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
4．在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
5．等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．8092 B．4048 C．4046 D．2023
6．若数列的前五项分别为，，，，，则下列最有可能是其通项公式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．36 B．54 C．28 D．42
8．在等差数列为中，为其前项和，，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列 B．
C． D．使成立的的最小值为4046
10．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数（，均为常数）的图象上，则为等差数列
B．若是等差数列，则是等比数列
C．若是等差数列，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
12．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 .
14．已知为等比数列，，，则 ．
15．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ．
16．在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
17．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前项和，若对任意的正整数都成立，求实数的取值范围.
18．已知等差数列的公差与等比数列的公比相同，，为数列的前项和，.
(1)求和的通项公式；
(2)记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列（相同的数排列两次），求数列前50项的和.
19．已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
20．记为数列的前n项和，当时,．且．
(1)求，；
(2)（i）当n为偶数时，求的通项公式；
（ⅱ）求．
21．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
22．设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.
(1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；
(2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”
①求d的值和数列的通项公式：
②设，直接写出数列中最小的项.
参考答案：
1．A
【分析】由可判断，分和讨论，结合等比数列前n项和公式求解运算.
【详解】由，，
当时，，成立，，
当时，由，得，即，
解得或（舍），又，此情况不合题意，
综上，，.
故选：A.
2．B
【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解.
【详解】由题意数列满足，且，
所以数列是等差数列，且，
所以，
当时，，
又，
所以，
所以，而，所以当或时，取最小值，
当时，，当时，，
综上所述，的最小值为5.
故选：B.
3．A
【分析】求出数列的一个周期为4，且，从而得到数列前2025项的积.
【详解】因为，所以，，
，，……，
故为一个周期为4的数列，
其中，
因为，所以数列前2025项的积为.
故选：A
4．B
【分析】利用等比数列性质得到，进而求出答案.
【详解】由等比数列性质得，
又，所以.
故选：B
5．C
【分析】由等差数列的性质得到，利用求和公式和等差数列性质求出答案.
【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得，
所以．
故选：C．
6．C
【分析】利用观察法求解.
【详解】数列，，，，，
，，，，，
所以数列的一个通项公式是，
故选：C.
7．D
【分析】利用等比数列前项和公式整体代入计算即可求得.
【详解】根据题意设等比数列的首项为，公比为，易知；
由可得，
两式相除可得，即；
所以.
故选：D
8．B
【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：B
9．ACD
【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答.
【详解】在等差数列中，由，得，即，
因此等差数列为递减数列，公差小于0，A正确；
又，所以，整理得，
因此，，
结合A选项等差数列为递减数列，则的最大值是， 则，C正确；
因为，
则，结合，，则，故B错误；
，且当时，，所以使成立的n的最小值是4046，D正确.
故选：ACD
10．BCD
【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD.
【详解】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
11．AB
【分析】结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，由点在函数（k，b均为常数）的图象上，可得，
因为为常数，所以为等差数列.A正确；
对于B，因为为等差数列，所以为常数，所以为常数，所以是等比数列，故B正确；
对于C，，所以，
又因为，所以公差，所以当或时，最大，C错误；
对于D，，，，，所以不是等比数列，D错误.
故选：AB
12．AB
【分析】根据数列的递推公式即可判断AC；利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断BD.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，，
，，故A正确；
对于B，设数列的前项和为，
；
，
故，故B正确；
对于C，由A可知，，C错误；
对于D，
，
，
故，故D错误.
故选：AB
13．
【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可.
【详解】由已知，，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】设公比为．由题可得，
所以，即，
又，所以．
故答案为：
15．
【分析】当时，，当时，，推出，利用累加法可得，从而求得，即可求解，根据，即可求解.
【详解】当时，①，当时，②，
由①②可得，，
所以，
累加可得，，
所以，
令且为奇数)，，当时，成立，
所以当为奇数，，
当为奇数，，
所以当为偶数，，
所以
故；
根据
所以的前项的和.
故答案为：；
16．②③
【分析】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④.
【详解】对于①，时，为常数，
故是等方差数列，①错误；
对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）
则为常数，
故（，k为常数）是等差数列，②正确；
对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数），
则，
故为常数，
则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确；
对于④，若既是等方差数列，又是等差数列，
则时，，且（d为常数），
则，
当时，则为常数列，满足是等方差数列，
若，则不为等比数列，④错误；
故答案为：②③
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解等方差数列的定义，明确其含义，并由此结合等差数列以及等比数列的定义求解即可.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）令原递推式中的为，然后两式做差可得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可得，并观察出，进而转化为，解不等式即可.
【详解】（1）因为①，
所以当时，②,
①－②，得，得，
当时，满足，
所以；
（2），
故
，
明显，所以，
∴，即或.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先求解等差数列的基本量，再利用通项公式分别求等差、等比通项即可；
（2）先列举两个数列寻找各项大小规律，再确定两数列的项数，再分组求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
因为，
所以，则，
所以，
由等差数列的公差与等比数列的公比相同，
则等比数列的公比为，，则.
（2）数列中的项从小到大依次为1，4，16，64，256，…，
而，，
依题意，新数列的前50项中，数列的项只有前4项，数列有46项，
又，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系即可求证是等比数列，由等比数列的通项即可求解，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）当时，，得，
由，得，
所以，化简得，
又，所以，即数列是等比数列，且公比．
所以．
（2）由（1）得，
所以．
则
．
20．(1)，.
(2)（i）（n为偶数）；（ⅱ）
【分析】（1）根据递推公式令、结合运算求解；
（2）（i）根据递推公式可得，利用构造法求通项公式；（ⅱ）根据递推公式可得，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）令，可得；
令，可得；
因为，可得，.
（2）（i）当n为偶数时，则，，
可得，且，
可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列，
则，所以（n为偶数）；
（ⅱ）当n为偶数时，则，即，
可得，
所以
，
所以.
21．(1)；
(2)10.
【分析】（1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；
（2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果.
【详解】（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的的最小值为10.
22．(1)不是，理由见解析
(2)①，；②
【分析】（1）直接由“M数列”的定义进行判断即可.
（2）①由题意关于的方程即恒有正整数解，结合数论知识即可求解出；②由题意得，故当当时或当时，取最小值.
【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下：
∵，当时，，此时找不到，使得.
所以数列不是“M数列”.
（2）①是等差数列，且首项，公差，
则，
故对任意，总存在，使得成立，
则，其中为非负整数，
要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，
又，所以，所以.
②∵，所以.
由的单调性知在为减函数，在为增函数，
当时，；当时，.
所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是得到关于的方程恒有正整数解，由此得出，从而顺利得解.
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