第二十七章 相似预习自检卷（含解析）
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第二十七章相似预习自检卷2023-2024学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．如图，若点D是线段的黄金分割点，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
2．如图，点是（为钝角）边上一点，若，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为的边延长线上一点，连结交于点，交于点F，则下列式子一定正确的是：（ ）
A． B． C． D．
4．如图是学生用具三角尺，，，其中，长为，长为，则这个三角尺中与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍然不能使的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
7．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论①；② ；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”． 如图，P为的黄金分割点， 如果的长度为， 那么的长度是 cm．
10．如图，正方形的边长为4，点是对角线上的一点，且，点是边上的一个动点，连接，过点作交于点，当时，线段的长为 ．
11．如图，在中，，点D在上且．
（1） ；
（2）若，，于点 E． 则 ．（用含m，n的式子表示）
12．小明和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面积为，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈妈T恤上矩形的面积为 ．
13．如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，，连接交轴于点，连接，若，则的值为 .
14．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ．
15．如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为 ．
16．如图，在中，点D、E分别是边上的点，且，相交于点，且，则 ．
三、解答题
17．如图，的直径，有一条定长为的动弦在上滑动（点C与A，点D与B不重合），交于F，交于E．
(1)求证：；
(2)在动弦滑动的过程中，四边形的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．
18．已知：中，点E是边上一点，交于点F，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
19．在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1．
(1)按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为，且与在原点异侧；
(2)直接写出点，的坐标．
20．如图，在中，∠，点D是边上一动点，过点D作于点E，于点F， ， ．
(1)设， ，请确定与的关系式（用表示），并直接写出四边形DECF的面积；
(2)当时，求的长度．
21．如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．当点不与点重合时，连接．作线段的垂直平分线交折线于点，交于点，连接．设点的运动时间为（秒）．
(1)线段的长度为______（用含的代数式表示）．
(2)当与平行时，求的值．
(3)当是等腰三角形时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
22．【问题提出】
(1)如图1，与相交于点，连接、，，，若的长为，则的长为．
【问题探究】
(2)如图2，在四边形中，，，点在边上，且，连接，点在上，连接、、，，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
(3)如图3，四边形是某动物园的野生动物观赏区，经测量，，工作人员计划将该野生动物观赏区进行扩建，在对角线．上取点，在边的延长线上取点，连接、、，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内新增加一种野生动物，请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例是是解题的关键．
【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是等高的两个三角形面积的比等于底与底的比．根据相似三角形的判定和性质，得和的比值，然后根据等高的两个三角形面积的比等于底与底的比即可求解．
【详解】解：，，
，
，，，
设，
，，
，
与等高，所以两个三角形面积的比是底与底的比，
，
又，
，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键熟练掌握相似三角形对应边成比例；
根据平行四边形的性质证明，，，即可得出相应线段成比例，逐一判断即可；
【详解】四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
，故A选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意；
，
，，
，
∴，故B选项错误，不符合题意；
故选：C
4．B
【分析】本题考查了含的直角三角形性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴面积的面积，
∵，
∴面积的面积．
故选：．
5．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
C、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出，故此选项符合题意；
故选：D．
6．B
【详解】解∶如图，过点P作于点Q，交于点M，
设米，
∵，
∴米，
根据题意得：四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴米，
即车宽的长度为米．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．
故选：D．
8．C
【分析】根据，，，可判断①；先证，得，不一定，可判断②；先判断，可得，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④．
【详解】解：①，，
平分，
，
．故①正确；
②，，
，得，
的值不确定，故②不正确；
③由①知，
，
又，
，
，由②知，
，
．
故③正确；
④如图，连接，
在，为斜边的中线，
则．
，
，
由得；
由得，有，
．
故④正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，勾股定理，直角三角形性质，平行线的性质，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
9．
【分析】本题考查了黄金分割，难度较小，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，
∴，
故答案为．
10．
【分析】由题意可得，则，由勾股定理得，，则，如图，作于，于，则四边形是矩形，设，则，由勾股定理得， 证明，则，可求，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
如图，作于，于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11． 36
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，先证明，设，则，得出，求出x的值即可；
（2）过点A作于点F，证明，得出，即，求出，证明，得出，求出，代入到中即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
即；
故答案为：36；
（2）过点A作于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
则，
整理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质．
12．200
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意可知多边形的相似比为1:2，则面积比为1:4，据此解题即可．
【详解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的相似比为，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的面积比为，
∵妹妹T恤上矩形的面积为，
∴妈妈T恤上矩形的面积为，
故答案为：200．
13．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质，由题意得出，，从而可得，结合，得出，，求出，结合，得出，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：轴于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故答案：．
15．9
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
16．
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，同高三角形面积之比等于对应底之比，列比例式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)四边形的面积是定值，值为
【分析】（1）要证：，就要从点向作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知；
（2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底下底）高，从图中给出的数量关系可知，上底与下底和是定值，高也是定值，所以面积是定值．
【详解】（1）解：如图，作于H，
∵，O是圆心，是圆O的弦，
∴，
∵，，，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴．
（2）解：四边形的面积是定值．
连结，
∵直径
∴，
由（1）知，，，
∴，是梯形的中位线，
∴
∵，
．
【点睛】本题综合考查了垂径定理、平行线等分线段定理及勾股定理、梯形的中位线性质和面积公式等知识点．
18．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）根据判定平行四边形是矩形，得到，结合，得到， 得到．
（2）作，交于点G，得到，根据与，得到，结合，得到， 得到 ，即得．
本题主要考查了平行四边形，矩形，相似三角形．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键．
【详解】（1）∵平行四边形中，，
∴平行四边形是矩形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）成立 ，
证明：在上取点G，连接，使，
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质确定对应点，然后顺次连接即可解答；
（2）直接根据（1）的作图写出点，的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
．
（2）解：根据（1）的作图可得：，．
20．(1)，；
(2)9．
【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求出与的关系式；
（2）把代入中求出，然后利用勾股定理分别求出和的长即可求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
四边形的面积为
（2）当时
把代入中
得
∴
在中
同理：
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）由题意即可得出答案；
（2）证出，得出，可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出，求解即可得出答案；
（4）证出，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：垂直平分，是等腰三角形，
，
在中，，
，
，
；
（4）解：，，，，
，
，
由题意得：为的中点，
，
，
，
，
，
或
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22．（1）；（2）等腰三角形
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，证明四边形是菱形，得出，根据已知可得，即可得出结论；
（3）连接，设，则，根据三角形内角定理以及菱形的性质导角得出，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴
∵，若的长为，
∴
（2）如图所示，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：如图所示，连接，
由（2）可得，
设，则，
又∵与互相垂直，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理的应用是解题的关键．
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第二十七章相似预习自检卷2023-2024学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．如图，若点D是线段的黄金分割点，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
2．如图，点是（为钝角）边上一点，若，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为的边延长线上一点，连结交于点，交于点F，则下列式子一定正确的是：（ ）
A． B． C． D．
4．如图是学生用具三角尺，，，其中，长为，长为，则这个三角尺中与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍然不能使的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
7．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论①；② ；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”． 如图，P为的黄金分割点， 如果的长度为， 那么的长度是 cm．
10．如图，正方形的边长为4，点是对角线上的一点，且，点是边上的一个动点，连接，过点作交于点，当时，线段的长为 ．
11．如图，在中，，点D在上且．
（1） ；
（2）若，，于点 E． 则 ．（用含m，n的式子表示）
12．小明和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面积为，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈妈T恤上矩形的面积为 ．
13．如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，，连接交轴于点，连接，若，则的值为 .
14．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ．
15．如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为 ．
16．如图，在中，点D、E分别是边上的点，且，相交于点，且，则 ．
三、解答题
17．如图，的直径，有一条定长为的动弦在上滑动（点C与A，点D与B不重合），交于F，交于E．
(1)求证：；
(2)在动弦滑动的过程中，四边形的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．
18．已知：中，点E是边上一点，交于点F，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当为钝角时，是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
19．在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1．
(1)按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为，且与在原点异侧；
(2)直接写出点，的坐标．
20．如图，在中，∠，点D是边上一动点，过点D作于点E，于点F， ， ．
(1)设， ，请确定与的关系式（用表示），并直接写出四边形DECF的面积；
(2)当时，求的长度．
21．如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．当点不与点重合时，连接．作线段的垂直平分线交折线于点，交于点，连接．设点的运动时间为（秒）．
(1)线段的长度为______（用含的代数式表示）．
(2)当与平行时，求的值．
(3)当是等腰三角形时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
22．【问题提出】
(1)如图1，与相交于点，连接、，，，若的长为，则的长为．
【问题探究】
(2)如图2，在四边形中，，，点在边上，且，连接，点在上，连接、、，，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
(3)如图3，四边形是某动物园的野生动物观赏区，经测量，，工作人员计划将该野生动物观赏区进行扩建，在对角线．上取点，在边的延长线上取点，连接、、，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内新增加一种野生动物，请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例是是解题的关键．
【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是等高的两个三角形面积的比等于底与底的比．根据相似三角形的判定和性质，得和的比值，然后根据等高的两个三角形面积的比等于底与底的比即可求解．
【详解】解：，，
，
，，，
设，
，，
，
与等高，所以两个三角形面积的比是底与底的比，
，
又，
，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键熟练掌握相似三角形对应边成比例；
根据平行四边形的性质证明，，，即可得出相应线段成比例，逐一判断即可；
【详解】四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
，故A选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意；
，
，，
，
∴，故B选项错误，不符合题意；
故选：C
4．B
【分析】本题考查了含的直角三角形性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴面积的面积，
∵，
∴面积的面积．
故选：．
5．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
C、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出，故此选项符合题意；
故选：D．
6．B
【详解】解∶如图，过点P作于点Q，交于点M，
设米，
∵，
∴米，
根据题意得：四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴米，
即车宽的长度为米．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．
故选：D．
8．C
【分析】根据，，，可判断①；先证，得，不一定，可判断②；先判断，可得，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④．
【详解】解：①，，
平分，
，
．故①正确；
②，，
，得，
的值不确定，故②不正确；
③由①知，
，
又，
，
，由②知，
，
．
故③正确；
④如图，连接，
在，为斜边的中线，
则．
，
，
由得；
由得，有，
．
故④正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，勾股定理，直角三角形性质，平行线的性质，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
9．
【分析】本题考查了黄金分割，难度较小，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，
∴，
故答案为．
10．
【分析】由题意可得，则，由勾股定理得，，则，如图，作于，于，则四边形是矩形，设，则，由勾股定理得， 证明，则，可求，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
如图，作于，于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11． 36
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，先证明，设，则，得出，求出x的值即可；
（2）过点A作于点F，证明，得出，即，求出，证明，得出，求出，代入到中即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
即；
故答案为：36；
（2）过点A作于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
则，
整理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定和性质．
12．200
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意可知多边形的相似比为1:2，则面积比为1:4，据此解题即可．
【详解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的相似比为，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的面积比为，
∵妹妹T恤上矩形的面积为，
∴妈妈T恤上矩形的面积为，
故答案为：200．
13．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质，由题意得出，，从而可得，结合，得出，，求出，结合，得出，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：轴于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故答案：．
15．9
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
16．
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，同高三角形面积之比等于对应底之比，列比例式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)四边形的面积是定值，值为
【分析】（1）要证：，就要从点向作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知；
（2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底下底）高，从图中给出的数量关系可知，上底与下底和是定值，高也是定值，所以面积是定值．
【详解】（1）解：如图，作于H，
∵，O是圆心，是圆O的弦，
∴，
∵，，，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴．
（2）解：四边形的面积是定值．
连结，
∵直径
∴，
由（1）知，，，
∴，是梯形的中位线，
∴
∵，
．
【点睛】本题综合考查了垂径定理、平行线等分线段定理及勾股定理、梯形的中位线性质和面积公式等知识点．
18．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）根据判定平行四边形是矩形，得到，结合，得到， 得到．
（2）作，交于点G，得到，根据与，得到，结合，得到， 得到 ，即得．
本题主要考查了平行四边形，矩形，相似三角形．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，等腰三角形性质，是解决问题的关键．
【详解】（1）∵平行四边形中，，
∴平行四边形是矩形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）成立 ，
证明：在上取点G，连接，使，
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质确定对应点，然后顺次连接即可解答；
（2）直接根据（1）的作图写出点，的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
．
（2）解：根据（1）的作图可得：，．
20．(1)，；
(2)9．
【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求出与的关系式；
（2）把代入中求出，然后利用勾股定理分别求出和的长即可求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
四边形的面积为
（2）当时
把代入中
得
∴
在中
同理：
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）由题意即可得出答案；
（2）证出，得出，可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出，求解即可得出答案；
（4）证出，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：垂直平分，是等腰三角形，
，
在中，，
，
，
；
（4）解：，，，，
，
，
由题意得：为的中点，
，
，
，
，
，
或
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22．（1）；（2）等腰三角形
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）连接，证明四边形是菱形，得出，根据已知可得，即可得出结论；
（3）连接，设，则，根据三角形内角定理以及菱形的性质导角得出，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴
∵，若的长为，
∴
（2）如图所示，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：如图所示，连接，
由（2）可得，
设，则，
又∵与互相垂直，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理的应用是解题的关键．
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