第二十六章 反比例函数预习自检卷（含解析）

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第二十六章反比例函数预习自检卷2023-2024学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
2．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的关系是（）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
4．已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．4
6．函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．反比例函数 的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数表达式为 B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时， D．当时，
二、填空题
9．一个用电器的电阻R是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示，则通过这个用电器的电流I的范围是 ．
10．如图，点在函数的图象上，过点A作轴，交y轴于点B，若点P在函数的图象上，且，则点P的横坐标是 ．
11．如图，反比例函数（为常数，且，）的图象上有一点，轴于点，点在轴正半轴上，连接、，若的面积为2，则的值为 ．
12．劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用，，三点分别表示三类种子的发芽率与该类种子用于实验的数量的情况，其中点在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．（填“A”“B”或“C”）
13．如图，已知，，把绕原点逆时针旋转得到，点的对应点为点，若反比例函数的图象经过点，则的值是 ．
14．如图所示，设C为反比例函数图象上一点，且长方形的面积为5，则这个反比例函数的解析式为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数上取一点，连接，作等腰．
（1）的坐标为 ．
（2）若过点作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，…，按此依次作图，则的坐标为 ．
三、解答题
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图交于点，．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)当时，请直接写出x的取值范围．
18．如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求双曲线的解析式；
(2)点在轴上，若，求点的坐标．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围；
(3)求的面积．
20．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集：
(3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
22．如图1，平行四边形中，，，连接，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发沿折线运动，设点P运动时间为x秒，的面积为，
(1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)的函数图象如图2所示，当时请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差小于0.2）
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
∵， ， ，，
∴只有点在反比例函数图象上．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查的是反比例函数性质，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据，即可得出结论．
【详解】解∶反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
，
故选∶A．
3．B
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据条件求出反比例函数解析式的比例系数k的值，代入，求出m即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为：，
代入点，解得：，
代入，解得：，
故选B．
4．B
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．根据一次函数和反比例函数交点坐标，找出当一次函数图象低于反比例函数图像时，自变量的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于，
∴由图可知，当或时，，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了反比例函数的意义，三角形等积求解；连接、，由等底同高的三角形面积相等得，再由反比例函数的意义得，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
轴，
轴，
，
，
；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查二次函数的图象与反比例函数的图象的综合，关键是熟知两个函数的图象与系数的关系．先利用反比例函数图象得到，再根据二次函数图象与系数关系即可得出答案．
【详解】解：∵函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴函数的图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，又对称轴为y轴，
故选项A中图象符合题意，选项B、C、D中图象不符合题意，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查反比例函数定义域与值域的计算，掌握自变量与函数值的计算是解题的关键．
根据题意，分类讨论，当时；当时；分别计算出电流的值即可求解．
【详解】解：根据题意，，，
∴当时，；当时，；
∴，
故答案为：．
10．1或2或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出；如图所示，取点，连接，可证明都是等腰直角三角形，则，故直线与反比例函数的交点横坐标满足题意，求出两直线解析式，进而求出直线与反比例函数的交点横坐标即可得到答案．
【详解】解：把代入中得，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴；
如图所示，取点，连接，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴直线与反比例函数的交点横坐标满足题意，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立得，解得或（舍去），
∴此时点P的横坐标为；
同理可得直线解析式为，
联立得，解得或，
∴此时点P的横坐标为1或2；
综上所述，点P的横坐标为1或2或，
故答案为：1或2或．
11．4
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质与判定，先证明得到，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点P在反比例函数上，
∴，
∴，
∵反比例函数图象经过第三象限，
∴，
故答案为：4．
12．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据发芽率y=发芽数量÷实验的数量x即可得到结论．
【详解】解：∵发芽率=发芽数量÷实验的数量，
∴y随x的增大而变小，
∴发芽数量最多的是C类种子．
故答案为：C．
13．
【分析】本题考查的是旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据图形旋转的性质求出D点的坐标，再代入反比例函数函数的解析式即可得出结论．
【详解】解：∵的直角边，，
由旋转的性质可求，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数图像和性质是解答本题的关键．
根据反比例函数的表达式可设C的坐标为，然后根据C点横纵坐标乘积的绝对值等于长方形的面积即可求得a的值，则可写出反比例函数的解析式．
【详解】解：由题意设点C的坐标为，因为长方形的面积为5，
所以有，解得：
所以该反比例函数的解析式是：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵正方形的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
∴，，
，，
∵的面积为4，
，解得：或（舍去），
∴，，
作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，
∴，
∴，，
，即的最小值为．
故答案为．
16．
【分析】本题属于规律探究题型，主要考查反比例函数和等腰直角三角形，数形结合是解题的关键．
（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可设的坐标为，代入反比例函数，即可求解；
（2）分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，根据等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质求出、的坐标，找到点的坐标规律，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，且，
，
设的坐标为，代入反比例函数，得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
的坐标为；
（2）如图，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，
是等腰直角三角形，且，
，，，
由（1）知，，，
，
，
设，则，
，
点在反比例函数上，
，
解得：，（舍去），
，
，，
，
，
，
设，则，
点，
点在反比例函数上，
，
解得：，（舍去），
点，
即点，点，
同理可得：点，
以此类推，可得的坐标为，
故答案为：．
17．(1)反比例函数为；
(2)或．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解，
（1）先求得点坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
（2）在函数图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上边的取值范围即可．
【详解】（1）解：将代入得，
解得，
将代入反比例函数可得，
∴反比例函数为；
（2）解：由两函数图象的交点可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
∴当时，或．
18．(1)
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）把点代入直线解析式求出，确定出点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出点，设点的坐标为，则，由可得，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
19．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是
(2)
(3)8
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）数形结合求解即可；
（3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
将代入得，，即，
将，代入得，，
解得，，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围，
∴由图象得：的解集为；
（3）解：当时，，即，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键．
20．(1)A对应的指标值为20
(2)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时注意力指标都不低于36
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用、求不等式组的解集．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入，即可得出A对应的指标值；
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．
将代入得：
点对应的指标值为；
（2）解：设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
21．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式；
（2）求出点的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出，再根据求出，即可求出．
【详解】（1）解：把点代入直线得：，
直线，
即一次函数的解析式为，
把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键．
22．(1)
(2)图见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
(3)或
【分析】（1）分两种情况：当点P由运动时，即；当点P由运动时，即；利用三角形面积公式求出函数解析式即可；
（2）用描点法作出函数的图象即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理 ，得
，
∵平行四边形，
∴，
当点P由运动时，即，
，
即；
当点P由运动时，即，
过点A作于E，过点B作交延长线于F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
，
即；
综上，关于x的函数表达式为．
（2）解：如图所示：
由图可得：当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：由图象可得：当时，或．
【点睛】本题考查动点函数图象，求动点函数解析式，利用图象法求不等式解集，一次函数与反比例函数交点问题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积．
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