17.1 勾股定理同步练习（含解析）
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17.1 勾股定理
一、单选题
1．在直角 中， ，如果 ， ，那么 的长是（ ）
A．2 B．5 C． D．5或
2． 若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3．已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．3 C． D．
二、填空题
4．在 中， ， ， ，则 .
5．如图，则阴影小长方形的面积S＝ ．
6．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 .
三、解答题
7．学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．
8．如图所示是一块菜地，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块菜地的面积．
四、综合题
9．在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB.AC⊥y轴，垂足为C.
（1）如图1，求点A的坐标.
（2）点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）
①如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF.若BF=2，求点D的坐标.
②若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC＝ ，则点D到AB的距离等于 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
则AB为斜边，
∴BC= = ，
故答案为：C.
【分析】根据∠ACB=90°得出AB为斜边，再用勾股定理求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，
∴斜边长为：，
故答案为：D.
【分析】根据题意利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：设斜边上的高为h，
由勾股定理得，三角形的斜边长= ，
则 ，
解得，h=2.4，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出斜边的边长，在应用等积法即可求得斜边上的高.
4．【答案】
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】利用直角三角形30度角的性质求出b，再利用勾股定理求出a即可.
5．【答案】30
【解析】【解答】由勾股定理得： =10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
6．【答案】24
【解析】【解答】设三边长分别为：
根据勾股定理可得：
解得： （不符合题意，舍去）
三角形的三边长分别为：
则周长为：
故答案为：24.
【分析】由题意可设三边长分别为：2n-2，2n，2n+2，根据勾股定理可得关于n的方程，解方程可求得三角形的各边长，再根据三角形的周长=三角形三边之和可求解.
7．【答案】解：设米，
则，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗杆的高度为米．
【解析】【分析】利用勾股定理列方程求出 ， 再解方程即可。
8．【答案】解：如图所示，连接AC，
∵∠D=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴AC=10，
又∵AC2+BC2=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=
【解析】【分析】根据题意，连接AC，根据题意可得出△ABC为直角三角形，利用两个三角形的面积差，可得出菜地面积。
9．【答案】（1）解：∵点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，
∴AC是边OB的中线，
∴C（0，2），
在Rt△ACO中，AO＝4，CO＝2，
由勾股定理可得，AC＝6，
∴A（6，2）.
（2）解：①AF＝AD，AB＝AO，
∵△OAB和△DEF是正三角形，
∴∠CAF＝∠OAB＝60°，
∵∠BAF＝∠CAF-60°，∠OAD＝∠OB-60°，
∴∠BAF＝∠OAD，
在△BAF和△OAD中，
，
∴△BAF≌△OAD（SAS），
∴OD＝BF＝2，
∵OC＝2，
∴CD＝4，
∴D（4，2）；
②（，）或（，）.
【解析】【解答】解：（2）②当点P在x轴下方时，如图，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，
则∠GAE＝30°，
在Rt△ODC中，∠OCD＝90°，CD＝2，OC＝2，
∴OD＝4，∠COD＝30°，
∴AD＝OD＝4，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOD=30°
∴∠DOP＝150°，
∵∠GAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DOP＝∠DAE＝150°，
∵∠CDO＝∠EDF＝60°，
∴∠ODA＝∠EDP＝120°，
∴∠ODA-∠DOE＝∠EDP-∠DOE
∴∠PDO＝∠EDA，
∴△PDO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
当点P在x轴上方时，如图，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知，△P′DO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
综上可知，点E的坐标为（，）或（，）.
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合点B的坐标可得C（0，2），在Rt△ACO中，根据勾股定理可得AC的值，进而可得点A的坐标；
（2）①由正三角形的性质可得∠CAF＝∠OAB＝60°，结合角的和差关系可得∠BAF＝∠OAD，证明△BAF≌△OAD，得到OD＝BF＝2，利用勾股定理可得CD，进而可得点D的坐标；
②当点P在x轴下方时，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，则∠GAE＝30°，易得OD＝4，∠COD＝30°，AD＝OD＝4，证明△PDO≌△EDA，得到OP＝AE，然后求出GE、AG，结合点A的坐标就可求出点E的坐标；当点P在x轴上方时，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知△P′DO≌△EDA，OP=AE，同理可得点E的坐标.
10．【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）1
【解析】【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；
；（2）设DC＝x，
过点D作DE⊥AB于E，
则∠DEB＝∠C＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝x，
∵∠A＝30°，BC＝ ，
∴AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝2 ，
由BC2+AC2＝AB2得（ ）2+（3x）2＝（2 ）2，
解得：x＝1（负值舍去），
∴DE＝1，即点D到AB的距离等于1，
故答案为：1．
【分析】（1）根据角平分线的作法和步骤作图即可；
（2）设DC=x，过点D作DE⊥AB于E，根据角平线的性质可知DE=DC=x，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AD=2DE=2x，AB=2BC=2，由勾股定理易知BC2+AC2=AB2，即()2+(3x)2=(2)2，从而得解。
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17.1 勾股定理
一、单选题
1．在直角 中， ，如果 ， ，那么 的长是（ ）
A．2 B．5 C． D．5或
2． 若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3．已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．3 C． D．
二、填空题
4．在 中， ， ， ，则 .
5．如图，则阴影小长方形的面积S＝ ．
6．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 .
三、解答题
7．学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．
8．如图所示是一块菜地，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块菜地的面积．
四、综合题
9．在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB.AC⊥y轴，垂足为C.
（1）如图1，求点A的坐标.
（2）点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）
①如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF.若BF=2，求点D的坐标.
②若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC＝ ，则点D到AB的距离等于 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
则AB为斜边，
∴BC= = ，
故答案为：C.
【分析】根据∠ACB=90°得出AB为斜边，再用勾股定理求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，
∴斜边长为：，
故答案为：D.
【分析】根据题意利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：设斜边上的高为h，
由勾股定理得，三角形的斜边长= ，
则 ，
解得，h=2.4，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出斜边的边长，在应用等积法即可求得斜边上的高.
4．【答案】
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】利用直角三角形30度角的性质求出b，再利用勾股定理求出a即可.
5．【答案】30
【解析】【解答】由勾股定理得： =10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
6．【答案】24
【解析】【解答】设三边长分别为：
根据勾股定理可得：
解得： （不符合题意，舍去）
三角形的三边长分别为：
则周长为：
故答案为：24.
【分析】由题意可设三边长分别为：2n-2，2n，2n+2，根据勾股定理可得关于n的方程，解方程可求得三角形的各边长，再根据三角形的周长=三角形三边之和可求解.
7．【答案】解：设米，
则，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗杆的高度为米．
【解析】【分析】利用勾股定理列方程求出 ， 再解方程即可。
8．【答案】解：如图所示，连接AC，
∵∠D=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴AC=10，
又∵AC2+BC2=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=
【解析】【分析】根据题意，连接AC，根据题意可得出△ABC为直角三角形，利用两个三角形的面积差，可得出菜地面积。
9．【答案】（1）解：∵点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，
∴AC是边OB的中线，
∴C（0，2），
在Rt△ACO中，AO＝4，CO＝2，
由勾股定理可得，AC＝6，
∴A（6，2）.
（2）解：①AF＝AD，AB＝AO，
∵△OAB和△DEF是正三角形，
∴∠CAF＝∠OAB＝60°，
∵∠BAF＝∠CAF-60°，∠OAD＝∠OB-60°，
∴∠BAF＝∠OAD，
在△BAF和△OAD中，
，
∴△BAF≌△OAD（SAS），
∴OD＝BF＝2，
∵OC＝2，
∴CD＝4，
∴D（4，2）；
②（，）或（，）.
【解析】【解答】解：（2）②当点P在x轴下方时，如图，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，
则∠GAE＝30°，
在Rt△ODC中，∠OCD＝90°，CD＝2，OC＝2，
∴OD＝4，∠COD＝30°，
∴AD＝OD＝4，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOD=30°
∴∠DOP＝150°，
∵∠GAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DOP＝∠DAE＝150°，
∵∠CDO＝∠EDF＝60°，
∴∠ODA＝∠EDP＝120°，
∴∠ODA-∠DOE＝∠EDP-∠DOE
∴∠PDO＝∠EDA，
∴△PDO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
当点P在x轴上方时，如图，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知，△P′DO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
综上可知，点E的坐标为（，）或（，）.
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合点B的坐标可得C（0，2），在Rt△ACO中，根据勾股定理可得AC的值，进而可得点A的坐标；
（2）①由正三角形的性质可得∠CAF＝∠OAB＝60°，结合角的和差关系可得∠BAF＝∠OAD，证明△BAF≌△OAD，得到OD＝BF＝2，利用勾股定理可得CD，进而可得点D的坐标；
②当点P在x轴下方时，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，则∠GAE＝30°，易得OD＝4，∠COD＝30°，AD＝OD＝4，证明△PDO≌△EDA，得到OP＝AE，然后求出GE、AG，结合点A的坐标就可求出点E的坐标；当点P在x轴上方时，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知△P′DO≌△EDA，OP=AE，同理可得点E的坐标.
10．【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）1
【解析】【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；
；（2）设DC＝x，
过点D作DE⊥AB于E，
则∠DEB＝∠C＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝x，
∵∠A＝30°，BC＝ ，
∴AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝2 ，
由BC2+AC2＝AB2得（ ）2+（3x）2＝（2 ）2，
解得：x＝1（负值舍去），
∴DE＝1，即点D到AB的距离等于1，
故答案为：1．
【分析】（1）根据角平分线的作法和步骤作图即可；
（2）设DC=x，过点D作DE⊥AB于E，根据角平线的性质可知DE=DC=x，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AD=2DE=2x，AB=2BC=2，由勾股定理易知BC2+AC2=AB2，即()2+(3x)2=(2)2，从而得解。
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