四川省乐山市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

乐山市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题
（考试时间：120分钟　　试卷总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C．3 D．4
5．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一直角三角形的面积为，则其两条直角边的和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的两个零点分别是－1和3，函数，则函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中计算结果等于1的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数
11．“”为真命题的充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．点是函数的图象的一个对称中心　B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．区间是函数的一个单调增区间　　　D．区间是函数的一个单调增区间
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知扇形的圆心角为2弧度，半径，则其面积为______．
14．若指数函数，且过，则______．（将结果化为最简）
15．在中，最大的数是______．
16．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立．则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
（1）计算：；
（2）解关于的一元二次不等式．
18．（12分）
已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（12分）
已知函数．
（1）将函数的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，求不等式的解集；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．
20．（12分）
已知函数．
（1）将函数的解析式化简，并求的值；
（2）若，求函数的值域．
21．（12分）
科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的．
（1）现有①；②；③三个奖励函数模型，结合函数的性质及已知条件．当时，判断哪个函数模型符合公司要求？
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？
22．（12分）
已知．
（1）求和的值；
（2）若为第四象限角，当时，求函数的最小值．
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（40分）
1．考查意图：本小题通过设置两集合的交集运算，主要考查集合的概念，集合的表示法，集合间的基本运算，一元二次方程的解集等必备知识；考查运算求解能力，属基础性问题。
答案：B．
解析：由题．
2．考查意图：本小题通过设置不等式性质等情境，主要考查不等式概念及性质等必备知识；考查推理论证等数学能力，属基础性问题。
答案：A．
解析：显然A正确；选项B中，若或显然不成立；选项C和D中，可以举反例．
3．考查意图：本小题通过设计命题的否定，主要考查全称量词命题与存在量词命题等必备知识；考查逻辑推理能力，应用意识。
答案：C．
解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定为“，”．
4．考查意图：本小题通过设计已知角终边上一点的坐标，求其正切。主要考查任意角的三角函数概念等必备知识；考查运算求解能力，属基础性问题，考查数学运算素养。
答案：A．
解析：．
5．考查意图：本小题通过设计幂函数的图象的判断，主要考查求幂函数的解析式以及幂函数的图象等必备知识；考查直观想象、逻辑推理与数学运算素养，属基础性问题。
答案：C．
解析：幂函数的图象经过点，则其解析式为，显然图象为C选项．
6．考查意图：本小题通过设置函数的定义域问题，主要考查对数型函数的真数要大于0，以及分式中分母不等于0等必备知识；考查逻辑推理与数学运算素养，属基础性问题。
答案：D．
解析：由题得且，故选D．
7．考查意图：本小题通过设置已知直角三角形面积，求其直角边的和的最小值情境，设计基本不等式模型的应用问题，主要考查基本不等式等必备知识；考查运算求解能力，数学建模能力，数学应用意识。
答案：D．
解析：根据题意，设两条直角边为，由题可得，两条直角边的和，当且仅当时，两直角边的和取到最小值40．
8．考查意图：本小题通过设置数学情境，对教材第101页复习参考题3拓广探索12题改编，考查函数的零点以及函数的单调性等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想。答案：B．
解析：由函数的两个零点分别是－1和3，可得．则在上单调递增，．
二、多项选择题（20分）
9．考查意图：本小题通过设置计算求值数学情境，设计三角函数以及对数求值，主要考查同角三角函数基本关系，对数的运算性质等必备知识；考查运算求解能力，数学运算素养，应用意识。答案：ACD．
解析：选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，．
10．考查意图：本小题通过对教材第161页复习参考题4拓广探索11题改编，设计探究性问题，主要考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性等基础知识；考查化归与转化、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理与数学运算素养。
答案：ABD．
解析：由，所以选项A正确；，因为，所以选项B正确；显然函数是定义域上的偶函数，所以选项D正确．
11．考查意图：本小题通过全称命题的数学情境，主要考查全称命题为真的充分条件等基础知识；考查化归与转化等数学思想，考查逻辑推理与数学运算素养。
答案：AB．
解析：由“”可转化为在上恒成立．（当且仅当时取得最小值），所以选项A、B为其充分条件．
12．考查意图：本小题通过设置三角函数性质的数学情境，主要考查三角函数的图象与性质、函数的对称性、单调性等基础知识；考查化归与转化、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理与数学运算素养。
答案：BD．
解析：选项A中，不会恒成立，因此A错误；
选项B中，恒成立，因此B正确；
选项C中，，显然此时函数不单调，因此C错误；
选项D中，，显然此时函数单调递增，因此D正确．
三、填空题（20分）
13．考查意图：本小题设置扇形有关的数学情境，主要考查扇形的面积等必备知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，属基础性问题。
答案：4．
解析：设扇形的圆心角为，半径为．因为扇形的圆心角为2弧度，半径，所以扇形的面积为．
14．考查意图：本小题以具体指数函数为试题情境，主要考查函数过点求字母的值，函数值及指对数互化等必备知识；考查运算求解能力，属基础性问题。
答案：5．
解析：由题意得，因为，且，所以，即函数．所以．
15．考查意图：本小题设置三角函数值比大小的数学情境，主要考查三角函数的符号判断、诱导公式的应用以及函数单调性等必备知识；考查化归与转化、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理与数学运算素养。
答案：．
解析：．
16．考查意图：本小题以偶函数构成的创新性问题情境，主要考查函数的图象性质等必备知识；考查数形结合、分类与整合等数学思想；考查运算求解能力，逻辑推理能力；数学运算、逻辑推理、直观想象等素养。
答案：．
解析：由题可知的图象关于轴对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，又．由不等式可得，即或，则．
四、解答题（70分）
17．（10分）
考查意图：本小题通过设置指对数的运算与不等式数学情境，设计含参的探究性问题，主要考查指对数的运算，含参不等式等必备知识；考查运算求解能力，逻辑思维能力，应用意识。
解析：（1）原式
（2）关于的一元二次方程的解为2和．
①当时，；
②当时，不等式的解集为；
③当时，．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18．（12分）
考查意图：本小题通过设置集合与不等式数学情境，设计含参的探究性问题，主要考查不等式的解法，集合间的关系，交集与子集等必备知识；考查运算求解能力，逻辑思维能力，应用意识。
解析：（1）由题得．
由，解得，所以．
所以．
（2）由题意得集合非空．
由，则
则，所以实数的取值范围为．
19．（12分）
考查意图：本小题通过设置指数型函数数学情境，主要考查图象平移，解指数不等式，用定义证明函数的单调性等必备知识；考查运算求解、数形结合能力，逻辑思维能力，应用意识。
解析：（1）由题意得函数．
由不等式，得，解得．
不等式的解集为．
（2）函数在上单调递增．
证明：设．由．．
结合函数的图象，得，即．
，即．
函数在上单调递增．
20．（12分）
考查意图：本小题通过设置三角函数数学情境，主要考查利用同角三角函数基本关系、诱导公式化简，应用三角函数图象等必备知识；考查运算求解、数形结合能力，逻辑思维能力，应用意识。
解析：（1）
．
（2）令，由于，所以．
原问题等价转化为求函数的值域．
函数在上单调递增，
．
函数的值域为，
所以，函数的值域为．
21．（12分）
考查意图：本小题设置公司为激励研发人员的奖励方案这一现实情境，对教材第152页例6改编，设计函数模型解决实际问题，主要考查三类函数模型的单调性、最值问题等必备知识；考查运算求解能力，数学建模能力，创新能力，考查应用性与创新性。
解析：（1）对于模型①在上单调递增，，不符合题意；
对于模型②在上单调递减，不符合题意；
对于模型③在上单调递增，，符合奖金总数不低于20万元．
，投资收益的为，所以在上恒成立，符合奖金总数不超过投资收益的．
综上所述，模型③符合公司要求．
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，
即，
则，所以公司的投资收益至少为1024万元．
22．（12分）
考查意图：本小题通过设置三角化简求值数学情境，主要考查三角化简求值，二次函数含参讨论最值等必备知识；考查运算求解、数形结合能力，逻辑思维能力，应用意识。
解析：（1）由题意得，则，
即，
，即．
．
（2）因为为第四象限角，则，且，
二次函数f（x）的开口向上，对称轴为
①当，即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为．
②当，且即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为．
综上所述，