许昌市2023-2024学年第一学期期末教学质量检测
高二数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的方向向量,则( )
A. B.0 C.1 D.2
2.若方程表示双曲线,则m的取值范围是( )
A.或 B. C.或 D.
3.直线l过点,且与圆相切,则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.或
4.在棱长为1的正方体中,点B到的距离为( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A.若直线的倾斜角为,则它的斜率为
B.直线过定点
C.圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
D.与圆相切,且在x轴y轴上的截距相等的直线只有一条
6.已知数列的前n项和,则的值是( )
A.8094 B.8095 C.8096 D.8097
7.数学美的表现形式多种多样,我们称离心率(其中)的椭圆为黄金椭圆,现有一个黄金椭圆方程为,若以原点O为圆心,短轴长为直径作,P为黄金椭圆上除顶点外任意一点,过P作的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与x,y轴分别交于M,N两点,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数,若,则( )
A. B.0 C.1 D.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.设等差数列的公差为d,前n项和.若,则下列结论正确的是( )
A.数列是递增数列 B.
C. D.中最大的是
10.已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为,若M,N为C上关于原点对称的两点,则( )
A.C的标准方程为 B.
C. D.四边形的周长随MN的变化而变化
11.已知函数,则( )
A.有两个极值点 B.有两个零点
C.直线是的切线 D.点是的对称中心
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知,则向量在上的投影向量的模是___________.
13.已知数列满足,,若为数列前n项和,则___________.
14.若函数在其定义域的一个子区间上,不是单调函数,则实数k的取值范围是___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
数列为等差数列,为等比数列,公比,
(1)求;
(2)求数列的前n项和.
16.(15分)
已知圆.
(1)若过点的直线l与圆C交于A,B两点,且,求直线l的方程;
(2)若点为圆上任意一点,求的最大值和最小值.
17.(15分)
如图,在棱长为1的正方体中,E,F,G分别是的中点
(1)求证:;
(2)求CE的长;
(3)求EF与CG所成角的余弦值.
18.(17分)
已知双曲线的右焦点为,且经过点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.
19.(17分)
已知函数(其中e为自然对数的底数)、
(1)若函数的图像与x轴相切,求a的值;
(2)设,都有,求实数a的取值范围.
许昌市2023-2024学年第一学期质量检测题
高二数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案啊标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有个选项是符合题目要求的。
1.C 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.CD 10.ABC 11.BD
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
12. 13. 14.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
解:(1)设等差数列得公差为d,联立,即, 2分
解得,或,又,所以, 4分
故. 6分
(2)令,
则, 8分
两边乘以得,, 10分
错位相减整理得,,
所以. 13分
16.(15分)
解:(1)由.则圆C的圆心为坐标原点O,圆C半径为2.
设O直线l到的距离为d,则; 7分
当直线l斜率不存在时,直线l的方程为.
当直线l斜率存在时,设直线l的方程为,
即. 5分
由题意得,解得,
则此时直线l的方程为,
即.
综上直线l的方程为或. 8分
(2)取点,则
则, 11分
, 13分
则的最大值为49,最小值为9. 15分
17.(15分)
解:(1); 5分
(2); 10分
(3),
又,
所以EF与CG所成角的余弦值为. 15分
18.(17分)
解:(1)因为的右焦点为,且经过点,
所以,解得. 6分
故双曲线C的标准方程为. 8分
(2)
设直线l的方程为.
点的坐标满足方程组,
将①式代入②式,得,
整理得.
此方程有两个不等实根,于是,
且.整理得.③ 11分
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标
满足.
从而线段MN的垂直平分线方程为. 13分
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为.
由题设可得.
整理得.
将上式代入③式得,
整理得. 16分
解得或.
所以k的取值范围是. 17分
19.(17分)
解:(1)易知, 2分
设切点坐标为,则,解得, 3分
所以,解得. 5分
(2),
,
在上单调递增; 7分
,
在上单调递增,且,
,从而有在上单调递增. 9分
不妨设,由题意化简得
即.
记,则在上为减函数, 11分
在恒成立,记,则,
,
,
在单调递减, 13分
即,解得, 15分
所以a的取值范围为. 17分