2023级高一上学期期末校际联合考试
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1-4 BCAC 5-8 BADB
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，
全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．AD 10．BC 11．BCD 12．BCD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． 21 14．3 15． 3 2 16． [4 2 3，1]
四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17 2．（10分）【解析】不等式 x x 2 0的解集是 x 1 x 2 ,
所以 A {x∣ 1 x 2}． ………………………………2分
（1）当m 1时， B {x | 0 x 5}， ………………………………3分
故 A B {x | 1 x 5}； ………………………………5分
（2）因为“ x A”是“ x B ”的充分条件，所以A是B的子集， ……………6分
m 1 2m 3
故 m 1 1 ， ………………………………9分
2m 3 2
解得 1 m 0即m 1 ,0
………………………………10分2 2
18．【解析】（1）由题意 m2 5m 7 1， ………………………2分
解得：m 2或 3 ， ………………………………4分
若 f (x) 是偶函数，则m 3，故 f (x) x2； ………………………………5分
（2） g(x) f (x) ax 3 x2 ax 3， g(x)
a
的对称轴是 x ，…………………6分
2
g(x) 1 3 a a若 在 ， 上是单调函数，则 1或 3， 解得：a 2或a 6．
2 2
所以实数 a的取值范围为 a 2或a 6． ………………………………12分
19.【解析】（1）由上表可知，0.12 0.24 0.32 10m 0.08 0.04 1，
解得m 0.02， ………………………………2分
设这50名学生一试成绩的70%分位数为 a，
由题意可知，0.12 0.24 0.32 a 90 0.02 0.7，解得 a 91，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91． ………………………………4分
（2）由图知，成绩在 100,110 有50 0.08 4人，
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{#{QQABIQSQogCAAABAAAgCAwHKCgCQkBCAAAoOwBAAIAAAiAFABAA=}#}
成绩在 110,120 有50 0.04 2人， ………………………………6分
根据分层抽样的原则，成绩在 100,110 抽 2份，
成绩在 110,120 抽 1份， ………………………………8分
设 A，B，C，D四位同学的成绩在 100,110 ,E,F两位同学的成绩在 110,120 ，
根据分层抽样的原则有 ABE, ABF ,ACE,ACF ,ADE,ADF ,BCE,BCF ,BDE,BDF ,CDE,CDF 共 12个样本，
符合条件的 ABE, ACE,ADE 3个样本， ………………………………11分
3 1
所以符合条件的概率为 P ，
12 4
即 A,E 1两位同学的试卷都被抽到的概率为 ． ………………………………12分
4
20 1 f (x) (log2x 2)(log2x 1) 0 t=log x．【解析】（ ） ，令 2 ， ……………1分
则原不等式可化为 (t 2)(t 1) 0，解得1 t 2，即1 log2x 2……………3分
所以 2 x 4，不等式 f (x) 0的解集{x 2 x 4}． ……………………6分
（2）当 x 4,16 时，令 t=log2x，可得 t 2,4 ，原不等式可化为 t2 3t 2 mt对于 t 2,4 能成立，即可得
t 2 3 m对于 t 2,4 能成立， ……………………9分
t
2
易知函数 y t 3 在 t 2,4 2 3上单调递增，所以 ymax 4 3 ，t 4 2
3
因此只需 ymax m即可，得m
3
；
2 2
即m
3
的取值范围是 , 2 ． ……………………12分
21．（12 分）【解析】 （1）根据表格数据，Q x 的函数值关于 220 对称，故选择Q x a x 20 b 合
适． ……………………2分
又Q 5 a 5 20 b 15a b 205，Q 10 a 10 20 b 10a b 210，
解得 a 1,b 220， ……………………4分
故Q x x 20 220，验证均满足．
故Q x x 20 220 1 x 30, x N* ……………………5分
2x 200 401,1 x 20, x N
*
（2）T x P x Q x 2 1 x 20 220 x 240 …7分 x 2x 479,20 x 30, x N *
x
当1 x 20, x N*时，T x 2x 200 401 200 2 2x 401 441，
x x
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{#{QQABIQSQogCAAABAAAgCAwHKCgCQkBCAAAoOwBAAIAAAiAFABAA=}#}
200
当 2x ，即 x 10时等号成立； ……………………9分
x
当 20 x 30, x N*
240
时，T x 2x 479在 20,30 上单调递减，故最小值为
x
T 30 2 30 240 479 427 ． ……………………11分
30
综上所述：当 x 30时，T x 有最小值为 427元． ……………………12分
1
22. 2【解析】（1）因为 f x x ,x 1,3 ， F x f x 2 5 f x ，x
1 x 3
则由 得 ，所以 F x 定义域为 1, 3 ， ……………………2分
1 x
2 3 1 x 3
而 F x x2 1 2 5(x 1 1 1 2 ) (x )2 2 2 5(x ) ，x x x x
4 3
设 t x 1 1 ，则 t x 在 1, 3 上单调递增，故 t 2, ，…………………3分
x x 3
则 y t 2
4 3
2 5t 2，开口向上，对称轴为 t 5， 5 2, 3
所以当 t 5时， y 2min ( 5) 2 5 5 2 7． ……………………5分
2
（3 g x 1 1） [ f x ]2 af x x a
x
， h x f x 1，
x x
y g x 1
2 1 1
则 h x x a x x x x 1
，
x
t x 1 , x 1,3 , t 2,10 设 ， ……………………6分x 3
令 t t2 a 1 t 1，则 t 开口向上，
10
原问题转化为对于任意 t1, t2 2, ， t1 t2，都有 t1 t3 2 ，
y | t | | t2 a 1 t 1| 2,10 所以 在 上单调递增， ……………………8分 3
a 1 10
①当 2 时，即 a 3， t 在 2, 上单调递增，2 3
同时满足 2 4 2 a 1 1 0 3，解得 a ，
2
此时 t2 t1 2 0，故 t1 t2 ，满足题意，
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所以 a 3 ； ……………………9分
2
a 1 10 17
②当 时，即 a ， t 在 2,
10
上单调递减，
2 3 3 3
应满足 2 4 2 a 1 1 0 3，解得 a ，
2
此时 t2 t1 2 0，故 t1 t2 ，满足题意，
17
所以 a ； ……………………10分
3
a 1 10
③当 2 时， y | t |不单调，不成立，舍去 …………………11分
2 3
a a 3 17综上， 的取值范围为 或 a ． ……………………12分
2 3
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{#{QQABIQSQogCAAABAAAgCAwHKCgCQkBCAAAoOwBAAIAAAiAFABAA=}#}参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A
2023级高一上学期期末校际联合考试
数学试题 2024.02
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．集合 A {x | 1 x 2}，B {x | x 1}，则 A B
A．{x | x 1} B．{x | 1 x 1} C．{x | x 2} D．{x |1 x 2}
2．若命题 p：“ x 1，x2 1 0”，则 p为
A． x 1，x2 1 0 B． x 1，x2 1 0
C． x 1，x2 1 0 D． x 1，x2 1 0
3．函数 f (x) 2x 3x 4的零点所在的区间为
A． (0，1) B． (1，2) C． (2，3) D． (3，4)
4．若命题“ x [ 1，2]，m x 2 1”是真命题，则实数m的取值范围是
A．[1， ) B． ( ，2] C． ( ，1] D． ( ，5]
1
5．“1 x 3”是“ 1”的
x 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若aea b lnb c lg c 1，则 a，b，c的大小关系为
A． a b c B． c b a C．b c a D． a c b
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{#{QQABIQSQogCAAABAAAgCAwHKCgCQkBCAAAoOwBAAIAAAiAFABAA=}#}
7．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦．2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在
酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行
同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一
人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概
9 2 1
率分别为 ， ， ，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率
10 3 2
为
3 9 29 59
A． B． C． D．
10 10 30 60
| ln x |，x 0
8．已知函数 f (x) y f ( f (x) x ，若函数 )所有零点的乘积为1，则实数 a
e 2，x 0 a
的取值范围为
A． (2，3) B． (0，2] (3， ) C． (3， ) D．[1，2] (3， )
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．下列函数在定义域中既是奇函数，又是增函数的是
A． f (x) x3 B． f (x) 3x C． f (x) log3x D． f (x) 3 x
10．若实数 a，b，c满足 a b(b 0)且 a 0， c 0，则下列不等式正确的是
1 1 b c b 2 2
A． B． ac bc C D b a． ． 2
a b a c a a2 b2
11．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的 4个小球，除标号外无差异．不放回地取两
次，每次取出一个．事件 A “两次取出球的标号为1和 4”，事件 B “第二次取
出球的标号为 4”，事件C “两次取出球的标号之和为5”，则
1
A． P(A) B． P(AB) 1
12 12
C．事件 A与C不互斥 D．事件 B与C相互独立
12．对 x R ，[x]表示不超过 x的最大整数，如[3.14] 3，[0.618] 0，[ 2.718] 3，
通常把 y [x]， x R 叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法
正确的是
A． x R ，[| x |] | [x] |
B． x，y R ，[x y] [x] [y]
C． x，y R ，若[x] [ y 1]，则 x y 2
D． n N ，使[log 21] [log2 2] [log2 3] [log2 n] 90 成立
高一数学试题 第 2 页 共 6页
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三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．若 x1，x2， ，xn的平均数是10，则 2x1+1， 2x2+1， ， 2xn+1的平均数是____．
x 3，x 0
14．已知函数 f (x) 2 ，若 f (m) 8，则实数m的值为 ．
x 1，x 0
15．如图所示，直线OB与对数函数 y loga x(a 1)的图象交于 E，B两点，经过 E的
线段 AC垂直于 y轴，垂足为C．若四边形OABC是平行四边形，且周长为16，则
实数 a的值为 ．
1
16 2．设M I 表示函数 f (x) | x x 1|在闭区间 I 上的最大值．若正实数 a满足8
M [0,a] 2M [a,2a]，则正实数 a的取值范围为________．
四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
2
已知集合 A {x | x x 2 0}， B {x |m 1 x 2m 3}．
（1）若m 1，求 A B；
（2）若“ x A”是“ x B”的充分条件，求m的取值范围．
18．（12分）
已知幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数．
（1）求 f (x)的解析式；
（2）若 g(x) f (x) ax 3在[1，3]上是单调函数，求实数 a的取值范围．
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19．（12分）
1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国
数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国
高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛
中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹
克 (CMO)暨全国中学生数学冬令营”，已知 2023年某地区有50名学生参加全国高中数学
联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求实数m的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
（2）若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在
这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从[100，110)和[110，120]内抽取3份试卷进
行审阅，已知 A同学的成绩是105分，E同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时
被抽到的概率．
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20．（12分）
已知函数 f (x) (log2x 2)(log2x 1) ．
（1）求不等式 f (x) 0的解集；
（2）若存在 x [4，16]，使得不等式 f (x) mlog2x成立，求实数m的取值范围．
21．（12分）
2023年10月 29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地 20000多名跑友相聚日照最美
赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传
日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产
品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 P(x)（单位：元）与时间 x（单位：天）
的函数关系近似满足 P(x) 2 1 ，该商品的日销售量Q(x)（单位：个）与时间 x部分
x
数据如下表所示：
x（天） 5 10 15 20 25 30
Q(x)（个） 205 210 215 220 215 210
（1）给出以下三种函数模型：①Q(x) ax b，②Q(x) a | x 20 | b，
③Q(x) ax b c，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述
该商品的日销售量Q(x)与时间 x的关系，并求出该函数的解析式；
（2）求该商品的日销售总收入T (x)(1 x 30, x N )（单位：元）的最小值（注：
日销售总收入=日销售价格 日销售量）．
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22．（12分）
1
已知函数 f (x) x ，x [1，3]．
x
（1）若 F (x) f (x2) 2 5 f (x)，求 F (x)的最小值；
（2）令 g(x) [ f (x)]2 af (x)，h(x) f (x) 1，若对于定义域内任意的 x1，x2 ，
当 x1 x2时，都有 | g(x1) h(x1) | | g(x2) h(x2) |，求实数 a的取值范围．
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