高三数学
满分：150分
考试时问：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷
上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、利纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.已知集合M={-3,-2,0,1,2},N={xy=√x2-x-6},则MnN=
A.{-3,-2,0,1}
B.{0,1,2}
C.{-3,-2}
D.{2}
2.已知z·(1+i)=1-i,则-z=
A.-2i
B.2i
C.-2
D.2
3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若（λa+b)∥(a+b),则下列关系一定成立的是
A.4=-1
B.入-4=2
C.入u=0
D.4=1
4.已知函数f(x)=ln(x2-ax)在区间(1，+o)上单调递增，则实数a的取值范围是
A(-,1]
B.(-0,2]
C.(0,2]
D.[2,+∞)
5.某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减20%，则经过周后，该化学物质的存
量低于该化学物质的；，则n的最小值为
(参考数据：lg2≈0.301)
A.6
B.7
C.8
D.9
6.(x+y)(x-y)的展开式中xy'的系数为
A.10
B.-10
C.20
D.-20
7.已知过点A(2,0)与圆：x2+y2-4y-1=0相切的两条直线分别是l,l2,若l1,2的夹角为a,则ana=
A.-5
4
B.V15
C.-√/15
D.15
4
8.下列不等关系中错误的是
In2 In3
A.2<3
B.be">ae"(a>b>1)
131
C.c0s432
77
D.sin+2>
高三数学第1页（共4页）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列判断中正确的是
A.一组从小到大排列的数据-1,1,3,5,6,7,9，x,10,10,去掉x与不去掉x,它们的80%分位数都不
变，则x=10
B.两组数据1心x,…,x与12少，…，少，设它们的平均值分别为E,与E,将它们合并在一起，
则总体的平均值为mE,+”E
m+n
m+n
C已知离散型随机变量X-B8,》,则D2r+3)=3
D.线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强
10.下列函数中均满足下面三个条件的是
①∫(x)为偶函数
②f(x)<1
③f(x)有最大值
A.f(x)=cosx
B.f(x)=
cr-()
D.f(x)=1-21
11.如图，棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为棱DD,的中点，点F在该正方体的侧面CDD,C,
上运动，且满足B,F∥平面A,BE.下列说法正确的是
点F轨迹是长度为号的
4E
B
B.三楼锥F-A,BE的体积为定值}
D
C.存在一点F,使得B,F⊥CD
D.直线BC与直线B,F所成角的正弦值的取值范围为
15
3’5
12.已知数列{an}满足a1=1,a.+1
an+√a.+1
2
,则下列说法正确的是
1
A.a2024>u202
B.
为递增数列
C.4a2t1-1=4a+1a。
D.a24<1013
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校思想品德课教师一天有3个不同班的课，每班一节，如果该校一天共7节课，上午4节，下午3
节，该教师的3节课任意两节都不能连着上（第四节和第五节不算连着上），则该教师一天的课所有
不同的排法有
种
14已知函数f)=Asin(urtp)4>0,w>0,e）的图象如图所示，
则r(
高三数学第2页（共4页）高三数学参考答案
1. 【答案】 C
【解析】 ∵ N={x y= x2 -x-6 } ={x x2 -x-6≥0} = (-∞ ,-2 ] ∪ [3,+∞ ) ,而 M={-3,-2,0,1,2} ,
∴ M∩N={-3,-2} .
2. 【答案】 B
1-i (1-i ) (1-i ) -【 2i解析】 ∵ z= = = = -i,∴ z= i,即 z-z= 2i.
1+i (1+i ) (1-i ) 2
3. 【答案】 D
【解析】 ∵ a= (1,1 ) ,b= (1,-1 ) ,∴ λa+b= (1+λ,λ-1 ) ,a+μb= (1+μ,1-μ ) ,
由 (a+λb )∥(a+μb ) 可得,(1+λ ) · (1-μ ) = (λ-1 ) · (1+μ ) ,整理得 λμ= 1.
4. 【答案】 A
【解析】 函数 y= lnx 在 R 上单调递增,而函数 f (x ) = ln(x2 -ax)在区间 (1,+∞ ) 上单调递增,
a 2 a2 a
则有函数 y= x(x-a)= (x- ) - 在区间 (1,+ ) 上恒正且单调递增,因此 ≤1 且 1-a≥0,
2 4 ∞ 2
解得 a≤1,∴ 实数 a 的取值范围是 (-∞ ,1 ] .
5. 【答案】 C
n n
【 】 :( 4 ) < 1 ,lg( 4 ) 5 5 5 5 10 5
n> 1
-0. 301
- × ≈7. 21,又 n∈N,所以 n 的最小值是 8,选项 C 正确.1 3 0. 301
6. 【答案】 A
【解析】 (x+y) 5(x-y) 6 = (x-y)(x2 -y2) 5,
(x2 -y2) 5 展开式的通项公式为 Tr+1 = ( -1) rCr5x10
-2ry2r(0≤r≤5,r∈N),
r= 3 时,T 4 6 4 74 = -10x y ,所以 x y 的系数为-1×( -10)= 10.
7. 【答案】 D
【解析】 ∵ x2 +y2 -4y-1 = 0,即 x2 + (y-2 ) 2 = 5,可得圆心 C (0,2 ) ,半径 r= 5 ,
过点 A (2,0 ) 作圆 C 的切线,切点为 M,N,
∵ AC = 22 + (-2 ) 2 = 2 2 ,则 MA = AC 2 -r2 = 3 ,
可得 sin∠MAC= 5 = 10 ,cos∠MAC= 3 = 6 ,
2 2 4 2 2 4
sin∠MAN= sin2∠MAC= 2sin∠MACcos∠MAC= 2× 10 × 6 = 15则 ,
4 4 4
2 2
cos∠MAN= cos2∠MAC= cos2∠MAC-sin2∠MAC= ( 6 ) - ( 10 ) = - 1 <0,即∠MAN 为钝角,4 4 4
∴ sinα= sin (π-∠MAN) = sin∠MAN= 15 ,tanα= tan (π-∠MAN) = -tan∠MAN= 15 .
4
8. 【答案】 C
【解析】 ln22 3
ex ex -k(x)= ,x>1, k′(x)= (x 1)设 则 2 >0 在(1,+∞ )上恒成立,故函数 k(x)在(1,+∞ )上单调递增,x x
高三数学参考答案 第 1 页(共 8 页)
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k(a) >k(b), e
a eb
故 即 > ,故 bea>aeb,选项 B 成立;
a b
cos 1 <31 cos 1 <1- 1 = 1- 1 ( 1 ) 2,构造 f(x)= cosx-1+ 1 x2,f ′(x)= x-sinx≥0,f(x)单调递增,
4 32 4 32 2 4 2
∴ f(x)≥f(0)= 0,f( 1 )= cos 1 -31>0,选项 C 不成立;
4 4 32
sin 7 + 7 >π sin 7 >π- 7 sin(π- 7 ) >π- 7 sin( 7 -π) < 7 -π,
2 2 2 2 2 2 2 2
构造函数 f(x)= x-sinx,x∈(0,1),f ′(x)= 1-cosx≥0,f(x)单调递增,
∴ f( 7 -π) >f(0)= 0, 7 -π>sin( 7 -π),选项 D 成立.
2 2 2
9. 【答案】 AB
+
【解析】 x 10数据-1,1,3,5,6,7,9,x,10,10 的 80%分位数为 ,
2
数据-1,1,3,5,6,7,9,10,10 的 80%分位数为 10,∴ x= 10,选项 A 正确;
根据平均值定义可知选项 B 正确;
D(X)= 3 ,D (2X+3 ) = 4D (X ) = 6,故选项 C 错误;
2
相关系数 r 越大,两个变量线性相关性越强,选项 D 错误.
10. 【答案】 BC
【解析】 根据题意:选项 A 中,-1≤f (x ) ≤1,不满足②;
选项 B 中,满足①②③;
选项 C 中,满足①②③;
选项 D 中,没有最大值,不满足③;故选项 BC 正确.
11. 【答案】 ACD
【解析】 设 G 为 CD 中点,则截面图形是 A1BGE 为等腰梯形, F1,F2 分别为 C1D1,C1C 的中点,由于
B1F∥平面 A1BE,则平面 B1F1F2∥平面 A1BE,
2
故点 F 的轨迹为线段 F1F2,且 |F1F2 | = ,选项 A 正确;2
VF-A BE =VB -A BE =V =
1
E-A BB ,选项 B 错误;1 1 1 1 1 6
F 1当点 为 F1F2 中点时,满足 B1F⊥CD1,此时直线 B1F 与直线 BC 所成角的正弦值恰好为 ;3
5
当点 F 与 F1 或 F2 重合时,此时直线 B1F 与直线 BC 所成角的正弦值恰好为 ,选项 CD 正确.5
12. 【答案】 ACD
an+ a2n+1 a2n+1 -a【解析】 因为 an+1 -a
n
n = -an = >0,即 a2 2 n+1
>an,
所以数列{an}为递增数列,可得 a2024 >a2023,选项 A 正确;
1
因为数列{an}为递增数列且 an≥1>0,则{ 2 }为递减数列,选项 B 错误;an
an+ a2n+1
因为 an+1 = ,则 2a -a = a2n+1 n n+1 ,两边平方整理得 4a2n+1 -1 = 4a2 n+1
an,选项 C 正确.
高三数学参考答案 第 2 页(共 8 页)
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因为 4a2n+1 -1 = 4an+1an,整理得 an =an+1 -
1 ,
4an+1
1 1 1 1
两边平方得 a2n =a2 2 2 2n+1 + - >a - ,即 a -a < ,16a2 2 n+1 2 n+1 nn+1 2
可得 a2 2 1 2 2 1 22024 -a2023 < ,a2023 -a2022 < ,……,a2 -a2 <
1
1 ,2 2 2
所以 a22024 -a21 <
1 × (2024-1 ) = 1011. 5,
2
即 a22024 -1<1011. 5,所以 a22024 <1012. 5<1013,故 D 正确.
13. 【答案】 78
【解析】 (1)上午 2 节,下午一节,共有 3×3A33 = 54 种;
(2)上午 1 节,下午 2 节,共有4A33 = 24,故不同的排课方案共有 54+24 = 78 种.
14. 【答案】 3
【 】 π π解析 由图象可得 A= f (x ) max = 2,函数 y= f (x ) 的最小正周期为 T= 2× ( + ) = π,3 6
∴ ω= 2π = 2π = 2,则 f (x ) = 2sin (2x+φ) ,
T π
∵ f (- π ) = 2sin éêê2× (- π +φùú = 2sin φ- π = 0,6 6 ) ú ( 3 )
∴ φ- π = 2kπ (k∈Z) , φ= π即 +2kπ (k∈Z) ,
3 3
由于 φ < π ,∴ k= 0,φ= π ,
2 3
∴ f (x π π 2π) = 2sin (2x+ ) ,故 f ( = 2sin = 3 .3 6 ) 3
+
15. 【答案】 5 2
3
【解析】 ∵ F→ → →1B⊥F2B,∴ |F1B | = |F
→
2B | = 2 c,
→ → → →
又 F2A= -2F2B,∴ |F2A | = 2 2 c,则 AF1 = 2a+2 2 c,
∴ AF→1 - AF
→
2 = 2a,即 2 5 c-2 2 c= 2a,
∴ c = 1 = 5
+ 2 .
a 5 - 2 3
16. 【 10答案】 12 3 - π
3
【解析】 构建一个底面边长为 2 3 ,高为 2 的正三棱柱,其内切球正好半径为 1,球外部分体积为
V1 =V -V = 6 3 -
4
柱 球 π;3
法一:本题中的小球未到达的区域还包括三条侧棱与球的空间区域,其中 V2 为底面是两个边长为
3 ,1 拼接而成的四边形,其中两个对角为 90°,另外两个对角分别为 60°和 120°,高为 2 的曲边柱
1
体,V2 = 3×2( 3 - π),3
所以小球未能达到的空间体积为 V1 +V2 = 6 3 -
4 π+3×2( 3 - 1 π)= 12 3 -10π.
3 3 3
高三数学参考答案 第 3 页(共 8 页)
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法二:球在上下移动中所形成的空间几何体为球+圆柱,
4
其体积为:V +V 2 3 10柱 球 = π·1 ·(4-2) + π·1 = π,3 3
3 2 10 10
所以剩下体积:V=
4 (2 3 ) ·4
- π = 12 3 - π.
3 3
17. 【解析】 (1)由 sinA-sinB= sin(C-B)可知,sin(C+B) -sin(C-B)= sinB,
则 2cosCsinB-sinB= 0,
∵ sinB≠0,
∴ cosC= 1 ,即 C= π ; …………………………………………………………………………… (4 分)
2 3
(2)∵ S= 1 absinC= 3 ab= 3 c2,
2 4 6
∴ c2 = 3 ab, ………………………………………………………………………………………… (6 分)
2
又 c2 =a2 +b2 -ab= 3 ab,则 2a2 -5ab+2b2 = 0,
2
∴ a= 2b 或 2a= b, ………………………………………………………………………………… (8 分)
∴ 当 a= 2b 时, c = 3 ;
b
当 2a= b c 3时, = . …………………………………………………………………………… (10 分)
b 2
18. 【解析】 (1)∵ a2n+2an = 4Sn-1,
∴ a2n-1 +2an-1 = 4Sn-1 -1,(n≥2),
两式相减可得:a2n-a2n-1 +2(an-an-1)= 4an,(n≥2),
∴ (an+an-1)(an-an-1 -2)= 0,(n≥2),又 an>0,
∴ an-an-1 = 2,(n≥2),
又 a21 +2a1 = 4a1 -1,
∴ a1 = 1,
∴ 数列{an}是以首项为 1,公差为 2 的等差数列,
∴ an = 2n-1,
可得 Sn =n2; ……………………………………………………………………………………… (6 分)
4(n+2) 2(n+1) -(2) n 1 1由题意可得,bn = = = -2n·2(n+1)·2n+1 n(n+1)·2n+1 n·2n (n+1)·2n+1
∴ b1 +b2 +……+b =
1 - 19 10 =
5119 . ………………………………………………………… (12 分)
2 10×2 10240
19. 【解析】 (1)分别取 AB 与 CD 的中点 M,N,连接 MN,MF,NF,则平面 FMN 将五面体分割成两部
分,棱柱 ADE-MNF 和棱锥 F-MBCN,故 V五面体 =VADE-MNF+VF-MBCN,
取 AD 中点为 O,易知 EO⊥平面 ABCD,
则 AB= 2AD= 2EF= 4,AE=DE= 2 ,FH=ED= 1,
V = 1 S ·FH= 1则 F-MBCN MBCN ×4×1 =
4 ,
3 3 3
VADE-MNF =S△ADE·AM= 1×2 = 2,
高三数学参考答案 第 4 页(共 8 页)
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V五面体 =V
10
F-MBCN+VADE-MNF = ; …………………………………………………………………… (5 分)3
(2)解法一:
取 BC 中点 Q,连接 OQ,
∵ AE=ED= 2 ,AD= 2,
∴ ∠AED= 90°,
∵ O 为 AD 中点,∴ EO⊥AD,
∵ △ADE⊥平面 ABCD,
∴ EO⊥平面 ABCD,OQ⊥AD,OA、OE、OQ 两两垂直,
以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴,OQ 为 y 轴,OE 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系;
则 B(1,4,0),C( -1,4,0),A(1,0,0),E(0,0,1),B→C= ( -2,0,0),
∵ 几何体是五面体,AB∥CD,AB∥平面 CDEF,平面 ABFE∩平面 CDEF=EF,
∴ AB∥EF,
∵ EF= 2,
∴ F(0,2,1),B→F= ( -1,-2,1) …………………………………………………………………… (6 分)
设平面 BCF 的法向量 m= (x,y,z),
B→
可得{ C·m= 0, -2x= 0,→ ,则BF·m= 0, {-x-2y+z= 0,
取 x= 0,得 y= 1,z= 1,
解得平面 BCF 的一个法向量 m= (0,1,2), …………………………………………………… (8 分)
∵ G 在 B→F 上, B→设 G=λB→F=λ( -1,-2,1)= ( -λ,-2λ,λ),
∴ G(1-λ,4-2λ,λ),则 A→G= ( -λ,4-2λ,λ),
设直线 AG 与平面 BCF 所成角为 θ,
m·A→G 4-2λ+2λ 4
sinθ= cos〈A→G,m〉 = → = = =
2 30 ,
m AG 5 · λ2 +(4-2λ) 2 +λ2 5 · 6λ2 -16λ+16 15
∴ 3λ2 -8λ+5 = 0,∴ λ= 1 或 λ= 5 (舍去),
3
∴ B→G = B→F = 6 ,
故存在 G 点,当 BG= 6 ,即 G 2 30与 F 重合时,AG 与平面 BCF 所成角的正弦值为 . …… (12 分)
15
解法二:
Q 为 BC 中点,连接 OQ 交 MN 于 H,如右图所示,
HF⊥平面 ABCD,AD∥BC,BC 平面 BCF,AD 平面 BCF,
∴ AD∥平面 BCF,
A 到平面 BCF 的距离=O 4到平面 BCF 的距离= 2×H 到平面 BCF 的距离= ,
5
假设 G 点存在,设 BG= x,x∈ [0, 6 ] ,
由 AG 2 30与平面 BCF 所成角正弦值为 ,
15
高三数学参考答案 第 5 页(共 8 页)
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∴ AG= 6 , ………………………………………………………………………………………… (8 分)
由于 cos∠ABF= 6 ,
3
∴ AG2 =AB2 +BG2 -2·AB·BG·cos∠ABF,
∴ x2 -8 6 x+10 = 0,
3
解得 x= 6 5 6或 (舍去), ……………………………………………………………………… (10 分)
3
存在点 G 满足条件,此时 BG= 6 . ……………………………………………………………… (12 分)
20. 【解析】 (1)有放回抽样会有 16 个等可能的样本
t t(1) = 5 t(2) = 6 t(3) = 7 t(4) = 8
t(1) = 5 5 5. 5 6 6. 5
t(2) = 6 5. 5 6 6. 5 7
t(3) = 7 6 6. 5 7 7. 5
t(4) = 8 6. 5 7 7. 5 8
样本均值的分布列为:
t 5 5. 5 6 6. 5 7 7. 5 8
1 1 3 1 3 1 1
P 16 8 16 4 16 8 16
∴ 均值 E ( t ) = 5× 1 +5. 5× 1 +6× 3 +6. 5× 1 +7× 3 +7. 5× 1 +8× 1 = 6. 5. …………………… (4 分)
16 8 16 4 16 8 16
(2)无放回抽样会有 12 个等可能的样本,
t t(1) = 5 t(2) = 6 t(3) = 7 t(4) = 8
t(1) = 5 5. 5 6 6. 5
t(2) = 6 5. 5 6. 5 7
t(3) = 7 6 6. 5 7. 5
t(4) = 8 6. 5 7 7. 5
样本均值的分布列为:
t 5. 5 6 6. 5 7 7. 5
1 1 1 1 1
P 6 6 3 6 6
1 1 1
样本均值超过总体均值的概率为 + = <0. 5,
6 6 3
所以样本均值超过总体均值的概率不会大于 0. 5. …………………………………………… (8 分)
(3)样本均值与总体均值的误差不超过 0. 5 的概率 P(6≤t≤7),
有放回的抽样,P(6≤t≤7)= 5 ;无放回的抽样,P(6≤t≤7)= 2 ,
8 3
5 < 2 ,故采用无放回的抽样方法概率更大. …………………………………………………… (12 分)
8 3
高三数学参考答案 第 6 页(共 8 页)
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21. 【解析】 (1)由椭圆的性质可知,左焦点 F1 发出的光线,经过两次反射之后回到点 F1,
光线经过的路程为 4a= 8,
解得 a= 2; ………………………………………………………………………………………… (2 分)
1
又椭圆的离心率为 ,
2
得 e= c = 1 ,
a 2
∴ c= 1,故 b2 =a2 -c2 = 4-1 = 3,
2 2
故椭圆 C x y的标准方程为 + = 1. ……………………………………………………………… (4 分)
4 3
x2 2(2)椭圆 C: +y = 1 的 a= 2,b= 3 ,c= 1,右顶点为 A(2,0),上顶点为 B(0, 3 ),
4 3
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ 的方程为 x=my+t,
ì x=my+t,
联立íx2 +y
2 可得(3m2 +4)y2 +6mty+3t2 -12 = 0,
= 1, 4 3
ìy +y =
-6mt
1 2 3m2
,
+4
í
3t2 -12
y1y2 = , 3m2 +4
由 OP⊥OQ, → →可得 OP·OQ= 0,
x 21x2 +y1y2 = (my1 +t)(my2 +t) +y1y2 = (1+m )y1y2 +mt(y1 +y ) +t22
2
= -(1+m2)·3t 122 +
-
mt( 6mt ) +t22 = 0,3m +4 3m +4
化简为:7t2 = 12(m2 +1); ………………………………………………………………………… (6 分)
t 12 2 21
而 O 到直线 PQ 的距离为 OM = = = ,
1+m2 7 7
即有 M 的轨迹方程为 x2 +y2 = 12;………………………………………………………………… (8 分)
7
解法一:
2
设 M(m,n), M→则 A·M→B= (2-m,-n)·( -m, 3 -n)= m2 -2m+n2 - 3 n= (m-1) 2 +(n- 3 ) - 7 ,
2 4
表示点(m,n)与点(1, 3 ) 7的距离的平方,减去 的差; ……………………………………… (10 分)
2 4
3
由点(0,0)与(1, ) 7的距离为 ,
2 2
3 7 2 21
可得 M 与点(1, )的距离的最大值为 + ,
2 2 7
M→A·M→B ( 7 +2 21 7则 的最大值为 ) 2 - = 12+2 3 . ………………………………………… (12 分)
2 7 4 7
高三数学参考答案 第 7 页(共 8 页)
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解法二:
r = 12令 0 ,设 M( r0cosθ,r0sinθ),θ∈ [0,2π) ,7
∴ M→A·M→B = (2-r0cosθ,-r
12
0sinθ)·( -r0cosθ, 3 -r0sinθ)= -2r0cosθ- 3 r0sinθ7
= 12- 7 ·2 3 sin(θ+φ)≤12+2 3 (其中 tanφ= 2 3 ),
7 7 7 3
当且仅当 θ+φ= - π ,tanθ= tan( - π -φ)= 1 = 3时,取“ = ” .
2 2 tanφ 2
22. 【解析】 (1)p (x ) = xf (x ) +ag (x ) = xex+alnx,
当 a= 1 时,p (x ) = xex+lnx,p(1)= e,
p′(x ) = ex+xex+ 1 ,p′(1)= 2e+1,
x
∴ 切线方程为 y-e = (2e+1)(x-1),
e+1
切线与坐标轴的交点为 A( ,0),B(0,-e-1),
2e+1
+ 2
S = 1 e 1△AOB · -e-
+
+ 1
= (e 1)
+ ; …………………………………………………………… (4 分)2 2e 1 4e 2
(2)当 a= -1 时,p (x ) = xex-lnx,
由题意( t+1) r( t)= p ( t ) ,即( t+1) é t 1 ù têê( t+1)e - t ú
ú = te -lnt,
+
( t+1) 2et-t 1 = tet-lnt,
t
t( t+1) 2et-( t+1)= t2et-tlnt,
( t+1) 2et+lnt-tet+lnt = ( t+1) -tlnt,
et+lnt( t2 +t+1)= t2 +t+1-t2 -tlnt,
( t2 +t+1)(et+lnt-1) +t( t+lnt)= 0( ) …………………………………………………………… (6 分)
∵ ex≥x+1(证明略)
∴ 上式= 0≥( t2 +t+1)( t+lnt+1-1) +t( t+lnt)
= ( t+lnt)( t2 +t+1+t)
= ( t+lnt)( t+1) 2
∵ ( t+1) 2≥0,∴ t+lnt≤0,①
∵ t>0,由( )得,0≤( t2 +t+1)(et+lnt-1),
∴ t+lnt≥0,②
由①②知 t+lnt= 0,………………………………………………………………………………… (9 分)
构造函数 φ( t)= t+lnt,( t>0),φ′( t)= 1+ 1 >0,
t
∴ φ( t)在(0,+∞ )单调递增,
φ( 5 )= 5 +ln5-2ln3<0,φ( 5 )= 5 +ln5-ln3-1>0,
9 9 3e 3e
5 9 3e
高三数学参考答案 第 8 页(共 8 页)
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