第六章 6.3.1 平面向量基本定理 课时练（含答案）

§6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是(　　)
A．{e1－e2，e2－e1}
B.
C．{2e2－3e1,6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1＋3e2}
2.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
3．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4
4．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　　)
A．若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
5．在△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示为(　　)
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a－b) D.(b－a)
6.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于(　　)
A. B. C．3 D.
7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝______.(用a，b表示)
8．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝______，μ＝______.
9.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
11．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A．a－b
B.a－b
C．a＋b
D.a＋b
13．(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)
A．||＝||＝||
B.＋＋＝0
C.＝＋
D．S△MBC＝S△ABC
14．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.
15.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
16.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB.
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值．
6.3.1　平面向量基本定理
1.D　2.A　3.D　4.AB　5.D　6.A　7.a＋b　8.　－
9.解　方法一　设AC，BD交于点O(图略)，
则有＝＝＝a，
＝＝＝b.
所以＝＋＝－
＝a－b，
＝＋＝a＋b.
方法二　设＝x，＝y，
则＝＝y，
又
所以解得
即＝a－b，＝a＋b.
10.(1)证明　假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一个基底.
(2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.D
12.D　[连接CD，OD(图略)，
∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，
∴＝，
∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，
∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋.
∵＝＝a，＝b，
∴＝a＋b.]
13.BD　[
如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，A错误，B正确；
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，C错误；
由DM＝AM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确.]
14.
解析　＝－
＝x－y，
由∥，可设＝λ(λ∈R)，
即x－y＝λ(－)
＝λ
＝－＋λ，
所以则＝.
15.6
解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作 OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上，
∴＝＋，
又＝λ＋μ，
∴＝λ，＝μ.
在Rt△OCM中，
∵||＝2，
∠COM＝30°，∠OCM＝90°，
∴||＝2，||＝4，
∴＝4，
又||＝||＝2，∴＝2，
∴λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.
16.解　(1)因为AN＝AB，
所以＝＝a，
所以＝－＝a－b.
因为BM＝BC，
所以＝＝＝b，
所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，
所以∥，
设＝λ，
则＝－＝λ－
＝λ－b
＝λa＋b.
因为D，O，N三点共线，
所以∥，存在实数μ使＝μ，
则λa＋b＝μ.
由于向量a，b不共线，
则
解得
所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.