第六章 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 课时练（含答案）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
1．已知M(2,3)，N(－3,5)，则的坐标是(　　)
A．(－1,8) B．(5，－2) C．(－5,2) D．(5, 2)
2．(多选)下面几种说法中正确的有(　　)
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
3．已知向量a＝(2,4)，a＋b＝(3,2)，则b等于(　　)
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6)
5．设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于(　　)
A．(1＋m,7＋n) B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m,7－n) D．(－1＋m ，－7＋n)
6．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，若＋＝0，则点C的坐标是(　　)
A．(1,5) B．(－3,4)
C．(－1，－5) D．(4，－3)
7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________．
8．已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 023个向量的和的坐标为________．
9.在平面直角坐标系Oxy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
10．在直角坐标系中，已知三点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)．
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标．
11．已知点A(2 023,12)，B(－1,8)，将向量按向量a＝(2 023,27)的方向平移，所得到的向量坐标是(　　)
A．(2 024,4) B．(－2 024，－4)
C．(15,23) D．(4 005,23)
12．若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
13．已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且||＝|a|，若点A的坐标为(－1,2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,10) B．(7,10)
C．(5，－6) D．(－5,6)
14．已知A，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
15．小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝，＝，则S△OAB＝.试用上述成果解决问题：已知A，B，C，则S△ABC＝______.
16．以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标．
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
1.B　2.ABD　3.A　4.D　5.B　6.A
7.(－18,18)　8.(－8，－15)
9.解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×
＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×
＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).
10.解　(1)因为＝(1,2)，
＝(2,1)，
所以＝(1,2)＋(2,1)＝(3,3)，
即点P的坐标为(3,3).
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)
＝(6－3x,6－3y)，
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2).
11.B　12.D
13.A　[由题意知，与a方向相反，
且||＝|a|，
∴＋a＝0.
设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
∴解得
故点B的坐标为(－7,10).]
14.或－
解析　由题意知＝
＝(sin α，cos β)，
∴sin α＝－，cos β＝，
又∵α，β∈，
∴α＝－，β＝或－，
∴α＋β＝或－.
15.1
解析　因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，
所以＝(1,2)，＝(3,4)，
又当＝(x1，y1)，
＝(x2，y2)时，
S△OAB＝|x1y2－x2y1|，
所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.
16.解　如图，因为△AOB为等边三角形，
且A(2，－2)，
所以||＝||＝||＝4.
因为在[0,2π]范围内，以Ox为始边，射线OA为终边的角为.
(1)当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为.
由三角函数的定义得＝＝(2，2).
所以＝－
＝(2，2)－(2，－2)
＝(0,4).
(2)当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为.
由三角函数的定义得＝(0，－4)，
所以＝－＝(0，－4)－(2，－2)＝(－2，－2).
综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，的坐标为(－2，－2).