第六章 §6.3 培优课 平面向量中的最值与范围问题 课时练（含答案）

培优课　平面向量中的最值与范围问题
1.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．9
2．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是(　　)
A．[2,14] B．[0,12] C．[0,6] D．[2,8]
3．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是(　　)
A.≤λ≤1 B．1－≤λ≤1
C.≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋
4．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量的长度的最大值是(　　)
A. B. C．3 D．2
5.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点．则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
6.如图，延长线段AB到点C，使得＝2，点D在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．[－1,1]
7．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________．
8．在△ABC中，·(－4)＝0，则cos A的最小值为________．
9．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是____________．
10．若向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________．
培优课　平面向量中的最值与范围问题
1.D　2.A　3.B　4.C　5.C
6.C　[不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，
＝ ＋ ，
∴＝－，
∴λ＝－，μ＝，x∈[0,1]，
则λμ＝－＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋，x∈[0,1]，
∴λμ∈.]
7.9
8.
解析　在△ABC中，＝－，
所以·(－4)
＝(－)·(－4)
＝－4||2－||2＋5·
＝－4||2－||2＋5||||·cos A＝0，
在△ABC中，设||＝b，||＝c，
则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立.
9.[2,3]
解析　如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，
易得|OQ|＝，
又·
＝(＋)·(＋)
＝||2＋·＋·＋·
＝||2＋·(＋)－1
＝||2－1，
根据图形可知，
当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为，此时||2－1＝2，
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时||2－1＝3，
所以2≤·≤3.
10.2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则＝a－c，＝b－c.
∵|a|＝|b|＝1，
∴OA＝OB＝1.
又∵a·b＝－，
∴|a||b|cos∠AOB＝－，
∴cos∠AOB＝－，
∴∠AOB＝120°.
又∵〈a－c，b－c〉＝60°，
而120°＋60°＝180°，
∴O，A，C，B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，
此时∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴Rt△AOC≌Rt△BOC，
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
∴OA＝OC，
∴|c|＝OC＝2OA＝2.