第六章 §6.3 习题课 平面向量数量积的综合应用 课时练（含答案）

习题课　平面向量数量积的综合应用
1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c等于(　　)
A．12 B．0 C．－3 D．－11
2．已知向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值为(　　)
A. B．－ C. D．－
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为(　　)
A.e B.e C.e D.e
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)．若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　)
A．4 B．2 C．8 D．8
5．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　)
A. B．6 C．12 D．18
6．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于(　　)
A. B．2 C．1 D.
7．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3,4)，则向量a在b上的投影向量为________(结果用坐标表示)．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小为________．
9．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
10.如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量垂直的单位向量．
(1)求单位向量a的坐标；
(2)求向量在单位向量a上的投影向量的模；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
11．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的角平分线AE与BC相交于点E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)
A．2 B. C．－3 D．－
12.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若在上的投影向量与在上的投影向量相等，则a与b满足的关系式为(　　)
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
13．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若2＝2＝2，则点O为△ABC的垂心
C．若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
14．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则||＝________.
15．已知菱形ABCD，AC＝2，BD＝4，且＝2，则∠DEC的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
16．已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
习题课　平面向量数量积的综合应用
1.C　2.C　3.A　4.D　5.D　6.A
7.　8.120°
9.解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4).
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝10，
∴a(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)c＝10·(2，－1)＝(20，－10).
10.解　(1)设a＝(x，y)，
依题意有＝(4,3)，||＝5，
|a|＝1，
且a⊥，即a·＝0，
所以
解得或
所以a＝或a＝.
(2)设向量与单位向量a的夹角为θ，在单位向量a上的投影向量为h，
则|h|＝|||cos θ|＝
＝|·a|.
又因为＝(1,4)，所以
当a＝时，
|h|＝＝；
当a＝时，
|h|＝＝.
所以向量在单位向量a上的投影向量的模为.
(3)S△ABC＝|||h|＝×5×＝.
11.C
12.A　[由题图知，要使在上的投影向量与在上的投影向量相等，只需使⊥，
即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，
得4a－5b－3＝0，即4a－5b＝3.]
13.AC　[对于A，设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F，
＋＝2，则＋2＝0，所以＝－2，所以A，O，D三点共线，即点O在中线AD上，同理点O在中线BE，CF上，
则点O是△ABC的重心，故A正确；
对于B，若2＝2＝2，
则||2＝||2＝||2，
所以||＝||＝||，
所以点O为△ABC的外心，故B错误；
对于C，设边AB，BC，CA的中点分别为点D，E，F，则(＋)·＝2·＝0，所以OD为线段AB的垂直平分线，
同理OE，OF分别为线段BC，CA的垂直平分线，所以点O是△ABC的外心，故C正确；
对于D，由已知，·－·＝·(－)＝·＝0，
即OB⊥CA，也即点O在边AC的高上；同理，点O也在边AB，BC的高上，
所以点O是△ABC的垂心，故D错误.]
14.
解析　如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，
D(3,0)，＝(3，)，
设＝λ(λ∈R)，
则点E的坐标为(3λ，λ)，
故＝(3λ，λ－).
因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，
所以E.
故＝，
则||＝
＝.
15.D　[在菱形ABCD中，设BD，AC交于点O，分别以BD，AC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
由AC＝2，BD＝4，
得A(0,1)，B(－2,0)，C(0，－1)，D(2,0)，
因为＝2，则点B为线段AE的中点，
所以E(－4，－1)，
则＝(6,1)，＝(4,0)，
所以cos∠DEC＝＝＝.]
16.解　(1)a·b＝cos cos －sin sin
＝cos＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝
＝＝2，
因为x∈，所以cos x≥0，
所以|a＋b|＝2cos x.
(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，
即f(x)＝2cos2x－1－4λcos x
＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
因为x∈，所以0≤cos x≤1.
①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时，
f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，
由已知得－1－2λ2＝－，
解得λ＝；
③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，
由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾.
综上所述，λ＝.