3.1 多项式的因式分解 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
3.1 多项式的因式分解
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(即相反变形)，并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
3.培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【教学重点】因式分解的概念.
【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
1.多项式的乘法有几种形式？
单项式乘以多项式：a(m+n)=am+an
多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些？
讨论
（1）21等于3乘那个数？
（2）x2-1等于x+1乘哪个多项式？
21=3×7.
因为( x+1 )( x-1 )=x2-1，
所以x2-1=( x+1 )( x-1 ).
对于整数21于3，有整数7使得21=3×7，我们把3叫做21的一
个因数，同理7也是21的一个因数.
类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=( x+1 )( x-1 )成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，x-1也是x2-1的一个因式.
定义：
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解(也叫做把这个多项式分解因式).
一般地，对于两个多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．
单项式可看作只有一项的多项式
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因式分解的特点：
分解的结果一定是积的形式.
每个因式必须是整式.
因式要分解到不能分解为止.
x2 － 1 ( x + 1 )( x － 1 )
因式分解
整式乘法
x2 － 1 = ( x + 1 )( x － 1 )
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个整式的乘积.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互逆的变形，即
【例1】下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
(1) a2+2ab + b2= (a+b)2;
(2) m2+m-4=( m +3 ) ( m-2 )+2.
是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab + b2表示成了多项式a+b与a+b的积的形式.
不是.因为( m +3 ) ( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
1、下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　)
① x2 － y2 － 1 ＝ (x ＋ y)( x － y) － 1；
② x3 ＋ x ＝ x (x2 ＋ 1)；
③ (x － y)2 ＝ x2 － 2xy ＋ y2；
④ x2 － 9y2 ＝ (x ＋ 3y)(x － 3y)．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
B
【例2】检验下列因式分解是否正确.
（1）x2+xy=x( x+y )；
（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；
（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确；
（2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确；
（3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正确.
x2 + x = x2(1 + )
2、在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
3、若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a( x﹣2 )( x + 3 )，求 a，b 的值.
解：因为 x2 + ax + b = a( x﹣2 )( x + 3 )，
即 x2 + ax + b = ax2 + ax﹣6a，
所以 a = 1，b =﹣6a =﹣6，
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可.
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.a(m-n)＝am-an B.y2+2y+1＝y(y+2)+1
C.(x+3)(x+6)＝x2+9x+18 D.b3-b＝b(b+1)(b-1)
D
2. (7x-y)(7x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )
A.49x2+y2 B.-49x2+y2 C.49x2-y2 D.-49x2-y2
C
3. 根据整式乘法的经验把下列多项式因式分解：
4. 求 4，6，14 的最大公因数.
4 = 1×2×2，
6 = 1×2×3，
14 = 1×2×7，
最大公因数是 2.
解：
5、已知多项式可分解为
6. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
所以 a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
所以 b = 9.
因此 a + b = 15.
7、若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，
所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
则 x4 + mx3 + nx﹣16
= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比较系数得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
x2-1=(x+1)·
(x-1)
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f的一个因式.
f=gh
因式分解要注意以下几点：
3. 要分解到不能分解为止.
2. 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；
1. 分解的对象必须是多项式；
因式分解与整式乘法是互逆的过程.
1. 习题3.1中第2、3、4题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.