人教版数学八年级下册同步练习 18.2.3 正方形（含答案）

第十八章　平行四边形
18.2.3　正方形
一、选择题
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分　　　　 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
3．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC
4．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是( )
A．平行四边形　　　　 B．正方形 C．菱形 D．矩形
5．下列命题错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
二、填空题
6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 .
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD，②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是 .
8．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ .
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 .
10．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
三、解答题
11．正方形ABCD与正方形CEFH在平面内如图所示放置，连接DE、BH，两线交于点M.求证：
(1)BH＝DE；
(2)BH⊥DE.
12．如图，正方形ABCD，点E、F分别在AD、CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
13．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.
(1)证明：△ADG≌△DCE；
(2)连接BF，证明：AB＝FB．
15．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知AE＝5，BC＝13，求BH的长．
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参考答案
一、选择题
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )
A．对角线互相平分　　　　 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( D )
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
3．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( A )
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．AO＝CO，BO＝CO，AB＝BC
4．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是( B )
A．平行四边形　　　　 B．正方形 C．菱形 D．矩形
5．下列命题错误的是( C )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
二、填空题
6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 .
【答案】22.5°
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD，②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是 .
【答案】①③④
8．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ .
【答案】75°
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 .
【答案】2.5
10．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
【答案】10
解析：连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边之和大于第三边，且正方形是轴对称图形知，当点N运动到点P时，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10.
三、解答题
11．正方形ABCD与正方形CEFH在平面内如图所示放置，连接DE、BH，两线交于点M.求证：
(1)BH＝DE；
(2)BH⊥DE.
证明：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，∴CB＝CD，CH＝CE，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH，∴∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，∴△BCH≌△DCE(SAS)，∴BH＝DE；　
(2)连接BD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＋∠BDC＝90°.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE，∴∠DBM＋∠BDH＝∠DBM＋∠CDE＋∠BDC＝∠DBM＋∠CBH＋∠BDC＝∠DBC＋∠BDC＝90°，∴∠BMD＝180°－(∠DBM＋∠BDH)＝180°－90°＝90°，∴BH⊥DE.
12．如图，正方形ABCD，点E、F分别在AD、CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
(1)证明：∵正方形ABCD，∴AB＝AD＝BC＝DC，∠BAE＝∠ADF.∵DE＝CF，∴AD－DE＝DC－CF，即AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；　
(2)由(1)得∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE＋∠AEG＝90°，即∠AGE＝90°.∵AB＝4，DE＝1，∴BE＝＝＝5，在Rt△ABE中，AB·AE＝BE·AG，∴AG＝＝.
13．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；　
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∠CBE＝180°×＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.
(1)证明：△ADG≌△DCE；
(2)连接BF，证明：AB＝FB．
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)；　
(2) 如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)，∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
15．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知AE＝5，BC＝13，求BH的长．
解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°＝∠AFH，
∠DAF＝∠BAE，
又∵∠DAF＋∠FAB＝90°，
∴∠BAE＋∠FAB＝90°，∴∠FAE＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形．
(2)在Rt△ABE中，
BE＝＝＝12，
由(1)知EH＝AE，
∴BH＝BE－EH＝12－5＝7.