人教版数学八年级下册同步练习（含答案版）18.2.1.2 矩形的判定
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册同步练习（含答案版）18.2.1.2 矩形的判定 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 212.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-01 18:52:13 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1.在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AB＝AC D.∠A＝∠B
2.平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.一般平行四边形
3．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
4．下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
5．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( )
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相互平分且相等
6．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个策划方案中，正确的方案是( )
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
7．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
二、填空题
10．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．
11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，条件是 (写出一种情况即可)．
12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是 (填序号)．
13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是 .
14．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题
15.（2023·岳阳中考）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
16．如图，BC是等腰△BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
17．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)在 ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM＝5，且AC＝8，则四边形ADEC的面积为 .
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
(1)求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
1
参考答案
一、选择题
1.在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ D ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AB＝AC D.∠A＝∠B
2.平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（ B ）
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.一般平行四边形
3．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
4．下列关于矩形的说法中正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
5．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( D )
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相互平分且相等
6．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个策划方案中，正确的方案是( D )
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
7．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( A )
A．2 B．3 C．4 D．4
二、填空题
10．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．
【答案】假
11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，条件是 (写出一种情况即可)．
【答案】∠A＝90°(答案不唯一)
12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是 (填序号)．
【答案】①②③或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥
13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是 .
【答案】2
14．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
【答案】BC＝2AB
三、解答题
15.（2023·岳阳中考）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
【答案】(1)①（或②）
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SAS）.
∴∠A＝∠D.∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.（选②证明也可以）
16．如图，BC是等腰△BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
解：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC＝CD.
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CE＝CD，AC＝BE.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC＝BE，BE＝BD，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
17．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)在 ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM＝5，且AC＝8，则四边形ADEC的面积为 .
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°.
∴四边形ADEC是矩形．
（2）48
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
(1)求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠DEF＝∠ACB，即△OEC为等腰三角形；
(2)解：当E为BC中点时，四边形AECD为矩形，∵AB＝AC，且E为BC中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD为平行四边形，又∵AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形
19．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵AC＝9，
AB＝12，BC＝15，
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°.
∴四边形AGPH是矩形．
(2)解：存在．连接AP.∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.当AP⊥BC时，AP最短．
∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AP，
∴9×12＝15·AP.∴AP＝.
∴GH的最小值为.
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1.在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AB＝AC D.∠A＝∠B
2.平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.一般平行四边形
3．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
4．下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
5．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( )
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相互平分且相等
6．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个策划方案中，正确的方案是( )
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
7．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
二、填空题
10．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．
11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，条件是 (写出一种情况即可)．
12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是 (填序号)．
13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是 .
14．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题
15.（2023·岳阳中考）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
16．如图，BC是等腰△BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
17．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)在 ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM＝5，且AC＝8，则四边形ADEC的面积为 .
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
(1)求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
1
参考答案
一、选择题
1.在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ D ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AB＝AC D.∠A＝∠B
2.平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（ B ）
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.一般平行四边形
3．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
4．下列关于矩形的说法中正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
5．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( D )
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相互平分且相等
6．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个策划方案中，正确的方案是( D )
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
7．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
8．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( A )
A．2 B．3 C．4 D．4
二、填空题
10．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．
【答案】假
11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，条件是 (写出一种情况即可)．
【答案】∠A＝90°(答案不唯一)
12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是 (填序号)．
【答案】①②③或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥
13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是 .
【答案】2
14．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
【答案】BC＝2AB
三、解答题
15.（2023·岳阳中考）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
【答案】(1)①（或②）
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SAS）.
∴∠A＝∠D.∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.（选②证明也可以）
16．如图，BC是等腰△BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
解：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC＝CD.
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CE＝CD，AC＝BE.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC＝BE，BE＝BD，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
17．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)在 ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM＝5，且AC＝8，则四边形ADEC的面积为 .
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°.
∴四边形ADEC是矩形．
（2）48
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
(1)求证：△OEC为等腰三角形；
(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠DEF＝∠ACB，即△OEC为等腰三角形；
(2)解：当E为BC中点时，四边形AECD为矩形，∵AB＝AC，且E为BC中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD为平行四边形，又∵AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形
19．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵AC＝9，
AB＝12，BC＝15，
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°.
∴四边形AGPH是矩形．
(2)解：存在．连接AP.∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.当AP⊥BC时，AP最短．
∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AP，
∴9×12＝15·AP.∴AP＝.
∴GH的最小值为.