合肥市普通高中六校联盟2024届高三第一学期期末考试
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B B A A B BC ABD ABD BD
13.【答案】 14.【答案】2
15.【答案】 16.【答案】1
17.（本小题10分）在中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，且满足
.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
解：（1）因为，
所以，化简得，…………………………2分
所以，………………………………………………………3分
因为，
所以；……………………………………………………………………………5分
（2）………………………………………………………6分
而由余弦定理得，即，……………………………8分
则，
从而有，则，
故的周长为.……………………………………………………10分
18.（本小题12分）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）根据题意可得，当时，，，………………………2分
则，……………………………………………………………………………………3分
所以曲线在点处的切线方程为.……………………………………5分
（2），由，得.………………………………………………7分
设，则，……………………………………………………………8分
易知函数在上单调递增，在上单调递减. ……………………………10分
故，
故的取值范围是. …………………………………………………………………12分
19.（本小题12分）如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．
(1)证明：平面平面;
(2)判断母线上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为．若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
解（1）证明：由题意可知，在下底面圆中，为直径．
因为
所以为弦的中点，且．………………………………………………………2分
因为平面．
所以平面．………………………………………………………………………4分
因为平面．
所以平面平面．………………………………………………………………6分
（2）分别以下底面垂直于的直线、为轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为，底面圆半径为3，所以．……………………………………7分
则，设．
所以，…………………………8分
设平面的一个法向量为．
由，得，即
令，则．……………………………………………………………………10分
设直线与平面所成的角为，
则，解得
所以存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，的长为4．……12分
20.（本小题12分）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
解：（1）因为
………………………………………………………………………2分
，………………………………………………………………………………4分
所以的最小正周期.……………………………………………………………5分
（2）将函数图象向右平移个单位长度得到
， ………………………………6分
则，
所以，…………………………………………………………………………8分
因为，所以，所以，………………………10分
所以
. …………………………………………………………………12分
21.（本小题12分）已知正项数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）当时，，则，…………1分
化简可得，……………………………………………………3分
又，所以，即.…………………………………5分
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.………………………6分
（2）由（1）知，. ……………………………………………9分
所以
……………………………………………………………………………11分
所以. …………………………………………………………………………12分
22.（本小题12分）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：对于任意正整数，都有.
解：（1）由题设知的定义域为，……………… 1分
①若，当时，，所以在上单调递增；…………3分
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增. …………………………5分
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增. ……………………6分
（2）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以，即当时，.……………………………8分
对于任意正整数，令，有，……10分
所以
即，得证. ………………………………………………12分合肥市普通高中六校联盟2024届高三第一学期期末考试
数学试卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．已知向量，且，则m=（ ）
A． 8 B． 6 C．6 D．8
4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．在上单调递增 D．为奇函数
11．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12．已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
14．已知，函数若，则 .
15．若，则
已知∠ACB=90°，M为平面ABC外一点，MC=，点M到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么M到平面ABC的距离为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题10分）在中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，且满足
.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
18.（本小题12分）已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题12分）如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．
(1)证明：平面平面;
(2)判断母线上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为．若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
20.（本小题12分）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
21.（本小题12分）已知正项数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
22.（本小题12分）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：对于任意正整数，都有.
