2023-2024年第一学期高一数学期末考试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
4．计算：（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式且.已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为10时，大约为（ ）（参考数据：）
A．50 B．52 C．54 D．56
7．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．函数的值域为
B．的定义域为
C．函数的零点所在的区间是
D．对于命题，使得，则，均有
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
12．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．关于点对称
C．在是上单调递增
D．若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
三、填空题（每题5分，共20分）
13．函数的最小正周期为 ．
14．已知，，则 .
15．已知且，则的最小值为 .
16．已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．已知非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
18．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．已知函数.
(1)若对一切实数都成立，求的值；
(2)已知，令，求在上的最小值.
20．已知函数，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
21．已知，求：
(1)的最小正周期及单调递增区间；
(2)时，恒成立，求实数的范围．
22．已知函数.
(1)求实数的值，使得为偶函数；
(2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围.2023-2024 年第一学期高一数学期末考试卷参考答案
3
1．C【详解】由题意及图示可知，A点的横坐标为 ，
5
3
所以 cos .故选：C .
5
2．A【详解】由题意得 a log32 log3 3 1 3
0 b 30.1 c 30.2 .故选：A.
3．C【详解】 f x 在 0, 上单调递增.
当0 x 1时， lgx 0,5x 11 0 ，所以 f x 0，则 f x 在 0,1 上无零点.
因为 f 1 6 0, f 2 lg2 1 0, f 3 lg3 4 0, f 4 lg4 9 0，
4．A【详解】 sin 20 sin80 cos20 sin170
sin 20 sin80 cos 20 cos80
cos 80 20 1 .故选：A.
2
5．C
sin 2cos tan 2 5
cos 0 tan 1【详解】由所求知 ，故有： ，解得： .
5cos sin 5 tan 16 3
12
k a 12 100
6．B【详解】由题知， k 200,a 236 ，解得 ，
k a 12 25
t t
所以 c 200 2 12 ，由
200 2 12 10，得 t 12log2 20 12 2 log2 5 52 .
7．A
【详解】解：因为命题“ m R ， A B ”为假命题，
所以，命题“ m R， A B ”为真命题，
因为集合 A x 0 x a ，集合 B x m 2 3 x m 2 4
所以，当 A x 0 x a 时， a<0，此时 A B 成立，
a 0
当 A x 0 x a 时，由“ m R ， A B ”得 2 ，解得 a 0,3
a m 3
，
综上，实数 a的取值范围为 ,3
8．B
答案第 1页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
π π
【详解】函数 f x cos x的图像先向右平移 个单位长度，得到 y cos x 再把所得函3 3
1
数图像上的每个点的横坐标都变为原来的 0 倍，纵坐标不变，得到函数
g x π cos x
3
的图像，
π π令 2kπ x 2kπ， (k Z)，
3
2π 2kπ 2kπ π
整理得 x ， (k Z)，
3 3
由于函数在 ( π,0)上单调递增，
0
2π 2kπ π
故 3 ， (k Z)，
0 2kπ π
3
解得 0
2
2k， k 0 (k Z)，
3
2
所以 k 0，0 ．
3
9．AC
1 1 1
2 1
【详解】对于选项 A， 16 4 9 4
3 4 3 2 3 3
，故选项 A正确；
9 16 4 4 4 2
对于选项 B，9π 2 92 π 9π 2 2 π 90 1，故选项 B不正确；
1 lg3
对于选项 C， log 3 log 2 lg 3 lg 2 2 lg 2 1 ，故选项 C正确；4 3 lg 4 lg3 2 lg 2 lg3 4
对于选项 D， e3ln2 eln8 8，故选项 D不正确.
10．AC
2
【详解】A选项， f x sin x cosx 1 cos2 x cos x 2，
令 t cos x,t 1,1 ，则 y t2 t 2 1的开口向下，对称轴为 t ，
2
2
t 1 y 1 1 9所以当 时， 取得最大值为 2 ；2 2 2 4
9
当 t 1 2 时， y取得最小值为 1 1 2 0，所以 f x 的值域为 0, ，A选项正确. 4
B选项，对于函数 g(x) 3 log 2(3 x) ，
答案第 2页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
3 x 0 x 3
由 3 log 3 x 0得 ，解得 5 x 3
，
2 log2 3 x 3
所以 g x 的定义域为 5,3 ，B选项错误.
C选项， f (x) ln x
2
在 0, 上单调递增，
x
f 2 2 ln 2 1 0, f 3 ln 3 0, f 2 f 3 0，
3
2
所以函数 f (x) ln x 的零点所在的区间是 (2,3)，C选项正确.
x
D选项，命题 p : x R ，使得 x2 1 0，
其否定是 p : x R ，均有 x2 1 0，D选项错误.
11．BD
π
【详解】解：根据函数 f x Acos x A 0, 0, 的部分图象，
2
A 1 2π π π可得 2, ，可得 2，
4 3 12
由 2
π
2kπ, k Z , π π ，解得 ，所以 f x 2cos(2x π )，
12 2 6 6
π π 5π
对于 A中，当 x ，可得 f 2cos 3 0 ，
3 3 6
π
所以 , 0
3
不是函数 y f x 的对称中心，所以 A错误；
5π f 5π对于 B中，当 x
时，可得 2cos π 2，即函数的最小值，12 12
5π
所以函数 y f x 的图象关于直线 x 对称，所以 B正确；
12
x 2π对于 C中，当 ,
π π 3π π ，可得 2x
3 6 6
, ， 2 2
2π π
根据余弦函数的性质，可得在函数 f x 在 , 先减后增，所以 C不正确； 3 6
π π
对于 D中，将函数 f x 2cos(2x )该图象向右平移 个单位，
6 6
π π
可得 y 2cos[2(x ) ] 2cos(2x
π
) 2sin 2x的图象，所以 D正确.
6 6 2
12．CD
【详解】因为 f (x) 3 sin x cos x 2sin
π
x (0 π)，
6
π
所以把 f (x)的图象向左平移 个单位长度得到函数
6
答案第 3页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
g(x) 2sin x π π 2sin
π π
x 的图象，
6 6 6 6
因为 g(x)
π π π
关于 y轴对称，所以 kπ ,k Z，即 6k 2, k Z ，
6 6 2
π
又因为0 π 2, f (x) 2sin 2x ，所以 ，
6
A. T 2π对于 π2 ，故 A错误；
f 5π 2sin 2 5π π B. 2sin π 0，故 B错误；
12 12 6
π π π
C，由 2kπ 2x 2kπ(k Z)，得 kπ
π
x π kπ(k Z)，
2 6 2 3 6
π π π π π π
所以当 k 0时， f (x)的单调递增区间为 , ，又因为3 6
, , ，
12 6 3 6
f (x) π π 所以 在 , 上单调递增，故 C正确；
12 6
π
D
π π
，若函数 f (x)在 ,a 上存在最大值，由选项 C可知， f (x)在 , 上单调递增，且 12 12 6
f π 2sin 2 π π π π π 2sin 2 ，即 f (x)在 x 时取得最大值，所以 a ，即实数 a
6 6 6 2 6 6
π
的取值范围为 ,
，故 D正确．
6
2π f x 1 sin 3x π T 2π 2π13． 【详解】由于 ，所以 .故答案是： .3 2 4 3 3
4 π
14． /0.8 【详解】因为 , π ，sin
3 4
2，所以 cos 1 sin ，
5 2 5 5
又因为 cos( ) cos ，所以 cos π 4 ，
5
15．3 2 2 / 2 2 3
3 6 1 2 1 2
【详解】 3 m n 1
n 2m
2
m n m n m n m n
3 n 2m 2 3 2 2 ，
m n
n 2m
m n
m 3 2 3
当且仅当 m n 3 ，即 n 6 3 2 时等号成立.
m 0,n 0
m 0,n 0
3 6
所以， 的最小值为
m n 3 2 2
.
16．1 m 2
【详解】由 g(x) 0得 f (x) m，即函数 g(x)的零点是直线 y m与函数 y f (x)图象交点横
答案第 4页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
坐标，
当 x 0时， f (x) ex 1是增函数，函数值从 1递增到 2(1不能取)，当 x 0时， f (x) lnx
是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数 y f (x)的图象，如图，
观察图象知，当1 m 2时，直线 y m与函数 y f (x)图象有 2个交点，即函数 g(x)有 2
个零点，
所以实数m的取值范围是：1 m 2 .
17.【详解】（1）当 a 3时， P x 4 x 7 ， RP {x x 4或 x 7}，
Q x | 2 x 5 ，所以 RP Q x 2 x 4 .
（2）若“ x P ”是“ x Q ”的充分条件，即 P Q ,
因为 P是非空集合，所以 2a 1 a 1，即 a 0，
a 1 2
所以 2a 1 5，解得0 a 2，故实数 a的取值范围为： 0,2 .
a 0
π π π
18．【详解】（1）因为 , 0, 2
，所以 , .
2 2
sin 1又因为 ,sin 11 ，
7 14
cos 4 3所以 ， cos 5 3 ，
7 14
sin sin sin cos cos sin 11 4 3 5 3 1 3所以 .
14 7 14 7 2
因为 0,
π
，所以
π
.
2 3
（2）因为 sin2 2sin cos 2 1 4 3 8 3 ，
7 7 49
2
cos2 1 2sin 2 1 2 1 47 7
，
49
答案第 5页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
所以 cos 2 cos2 cos sin2 sin
47 1 8 3 3 23
.
49 2 49 2 98
19．【详解】（1） f x 0，即 x2 mx 0恒成立，
Δ m2 0，
解得m 0，所以m的值为 0
g x x 2 2x x 2 1 2x 1（2）由已知有 ，
x x
当 x 0, 时， 2x 1 2 2x 1 2 2，
x x
当且仅当 2x
1
，即 x 2 时取得最小值，
x 2
故 g x 在 0, 上的最小值为 2 2 .
20．【详解】（1）因为 f (2) log3 (2 a) log3 (5 4) log3 (a 2) 0 1，
解得 a 1．
所以 f x log3 x 1 log3 5 2x ，
x 1 0， 5
由题意可得 1 x
5
解得 ，
2x 0， 2
故 f (x)
的定义域为 1,
5
．
2
（2）不等式 f (x) 1等价于 log3 (x 1) log3 (5 2x) > 1，
即 log3 (x 1) log3 (5 2x) log33 log3[3(5 2x)]，
由于 y log3x在 (0, )上单调递增，
x 1 3(5 2x)，
则 x 1 0
5
， 解得 2 x ．
2
5 2x 0，
f (x) 1 5 故不等式 的解集为 2, ．
2
21．【详解】（1）
f x cos2 x sin 2 x 2 3 sin x cos x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 2sin 2x π 1 ，
6
f x π π π的最小正周期T 2π π，由 2kπ 2x 2kπ2 ， k Z，2 6 2
π π π π
可得 kπ x kπ ， k Z， 函数的单调递增区间为 kπ ,kπ ， k Z．3 6 3 6
答案第 6页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
π π π π 5π
（2） x , ， t 2x , ， 6 3 6 6 6
y sin t π π π 5π π 1 5π 1在 , 上单调递增，在 , 上单调递减，且 sin
, sin ，
6 2 2 6
6 2 6 2
1 sin 2x π 1 sin t min ，2 6
，
min 2
2x π π x π f x 1当 + = - 即 ， 2 1 0min ，6 6 6 2
要使 f x 3 m恒成立，则 f x m 3min ，即0 m 3，可得m 3，
故实数m的范围是 ( , 3]．
22．【详解】（1）解：由函数 f x x 2x x k 2 2 x为R 上的偶函数，则 f x f x ，
x x x
即 x 2 x k 2 2 x 2 x k 2 2 x，
即 x(2x 2 x ) x(k 2)(2x 2 x ) 0，即 x(2x 2 x )( 1 k) 0恒成立，
所以 k 1 .
x x
（2）解：由（1）知 f x x (2 2 )，
2 f
2x 2x
x
可得 g x 2 2 22x 2 2x 2 (2x 2 x ) (2x 2 x )2 2 (2x 2 x ) 2 ，
x
x
令 t 2x 2 x ，因为函数 t1 2 , t2 2
x
在 x 1,2 都是增函数，
x 3 15所以函数 t 2 2 x在 x 1,2 上为递增函数，则 tmin , t2 max ，4
2 3 15
所以 y t 2t 2,t [ , ]，
2 4
3 15
因为函数 y t 2 2t 2的对称轴为 t 1，所以函数 y t2 2t 2在[ , ]递增，
2 4
15 137
所以，当 t 时， y ，
4 max 16
要使得 x 1,2 g x m 137 137，都有 成立，则m ，即实数m的取值范围[ , ) .
16 16
答案第 7页，共 7页
{#{QQABBQQUggAAAABAAQhCAwE6CgAQkBGAAKoGxAAMsAAAiQNABAA=}#}
