17.2 勾股定理的逆定理同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 17.2 勾股定理的逆定理同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-01 17:48:24 | ||
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文档简介
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7.2 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．9，， C．，， D．7，，
2．以下各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23
3．以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
4．以下列各组数据为边，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
二、填空题
5．一个三角形的三边BC，AC，AB有如下关系：BC2=AC2+AB2，则Rt△ABC中的直角是 ．
6．如果三角形的三边长a，b，c满足 ，这个三角形是直角三角形．
7．如图所示，圆柱的高AB=3，底面圆的周长是8，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是 .
三、解答题
8．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.
四、综合题
9．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当 = 时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
10．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若 ， ， ，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
11．如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上.
（1）直接写出边 AB、AC、BC 的长．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵1+2＝3，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵5+12＜23，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
∴以5，12，23为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形三边关系判断较小两线段的长度之和是否大于第三边，据此判断能否组成三角形，进而对能组成三角形的三条线段，计算分析是否满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，然后由勾股定理的逆定理即可作答.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，以4、6、8为边不能组成直角三角形，A符合题意；
B、，以5、12、13为边能组成直角三角形，B不符合题意；
C、，以6、8、10为边能组成直角三角形，C不符合题意；
D、，以7、24、25为边能组成直角三角形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理来判断，即判断较小两边的平方和是否等于最大遍的平方.
4．【答案】C
【解析】【解答】 解：A、 ∵62+82=100，102=100，而62+82=102，
∴能构成直角三角形， 故选项A不符合题意；
B、∵ ，42=16，而 ，
∴能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、 ∵，， 而
∴不能构成直角三角形，故选项C符合题意；
D、∵72+242=625，252=625，而72+242=252，
∴能构成直角三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，进行计算逐一判断即可解答．
5．【答案】∠A
【解析】【解答】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：∠A
【分析】根据勾股定理的逆定理，及大边对大角，由BC2=AC2+AB2，判断出△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
6．【答案】a2+b2=c2
【解析】【解答】解：当a2+b2=c2时，
∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为： a2+b2=c2 .
【分析】 根据勾股定理逆定理：如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方则这个三角形是直角三角形，即可解答.
7．【答案】5
【解析】【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，AC为最短距离，
则BC= ，
∵AB=3，
∴在Rt 中，由勾股定理得： ，
∴
即：爬行的最短距离为5.
【分析】首先将圆柱侧面展开，即可得出最短距离为展开后AC的距离，根据勾股定理即可求出AC，即最短距离.
8．【答案】解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝ ＝ ＝150.
h＝220－150＝70（cm）．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
【解析】【分析】先利用勾股定理求出DE的长，再利用h＝220－150＝70计算即可。
9．【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠EFO=∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO=OE；
∵在△EFO和△BGO中， ，
∴△EFO≌△BGO，
∴FO=GO
∵EO=BO，且BE⊥FG
∴四边形BGEF为菱形．
（2）解：当AB=a，n=3时，AD=2a，AE= ，
根据勾股定理可以计算BE= ，
∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF= ，EF= ，
∵菱形BGEF面积= BE FG=EF AB，计算可得FG=
（3）解：设AB=x，则DE= ，
S1=BG AB，S2=BC AB
当 = 时， = ，可得BG= ，
在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF= ，
∴AE=AF+FE=AF+BG= ，DE=AD﹣AE= ，
∴ = ，
∴n=6．
【解析】【分析】（1）先求证△EFO≌△BGO，可得FO=GO，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形BFEG为菱形；（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．
10．【答案】（1）解：是．
理由： ， ， ，
， ，
，
、 、 为边的三角形是一个直角三角形．
即：点M、N是线段AB的勾股分割点.
（2）解：设 ，则 ，
①当 为最长线段时，依题意 ，
即 ，解得 ，
②当 为最长线段时，依题意 ．
即 ，解得 ，
综上所述 的长为 或 ．
【解析】【分析】（1）由已知可得 ，依据勾股定理逆定理即可得结论，（2）设 ，则 ，分两种情形①当 为斜边时，依题意 ，②当 为最斜边时，依题意 ，分别列出方程即可解决问题．
11．【答案】（1）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴ ；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13
（2）解：△BCD是直角三角形．
理由如下：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线求出 AE=EB=4，∠AED=90° ，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 DB=AD=5 ，再求出 ，最后证明求解即可。
12．【答案】（1）解：AB＝ ，AC＝ = ，BC＝ ；
（2）解：△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形．
【解析】【分析】(1)利用勾股定理进行求解即可得到结论；(2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论．
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7.2 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．9，， C．，， D．7，，
2．以下各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23
3．以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
4．以下列各组数据为边，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
二、填空题
5．一个三角形的三边BC，AC，AB有如下关系：BC2=AC2+AB2，则Rt△ABC中的直角是 ．
6．如果三角形的三边长a，b，c满足 ，这个三角形是直角三角形．
7．如图所示，圆柱的高AB=3，底面圆的周长是8，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是 .
三、解答题
8．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.
四、综合题
9．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当 = 时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
10．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若 ， ， ，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
11．如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上.
（1）直接写出边 AB、AC、BC 的长．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵1+2＝3，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵5+12＜23，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
∴以5，12，23为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形三边关系判断较小两线段的长度之和是否大于第三边，据此判断能否组成三角形，进而对能组成三角形的三条线段，计算分析是否满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，然后由勾股定理的逆定理即可作答.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，以4、6、8为边不能组成直角三角形，A符合题意；
B、，以5、12、13为边能组成直角三角形，B不符合题意；
C、，以6、8、10为边能组成直角三角形，C不符合题意；
D、，以7、24、25为边能组成直角三角形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理来判断，即判断较小两边的平方和是否等于最大遍的平方.
4．【答案】C
【解析】【解答】 解：A、 ∵62+82=100，102=100，而62+82=102，
∴能构成直角三角形， 故选项A不符合题意；
B、∵ ，42=16，而 ，
∴能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、 ∵，， 而
∴不能构成直角三角形，故选项C符合题意；
D、∵72+242=625，252=625，而72+242=252，
∴能构成直角三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，进行计算逐一判断即可解答．
5．【答案】∠A
【解析】【解答】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：∠A
【分析】根据勾股定理的逆定理，及大边对大角，由BC2=AC2+AB2，判断出△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
6．【答案】a2+b2=c2
【解析】【解答】解：当a2+b2=c2时，
∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为： a2+b2=c2 .
【分析】 根据勾股定理逆定理：如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方则这个三角形是直角三角形，即可解答.
7．【答案】5
【解析】【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，AC为最短距离，
则BC= ，
∵AB=3，
∴在Rt 中，由勾股定理得： ，
∴
即：爬行的最短距离为5.
【分析】首先将圆柱侧面展开，即可得出最短距离为展开后AC的距离，根据勾股定理即可求出AC，即最短距离.
8．【答案】解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝ ＝ ＝150.
h＝220－150＝70（cm）．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
【解析】【分析】先利用勾股定理求出DE的长，再利用h＝220－150＝70计算即可。
9．【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠EFO=∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO=OE；
∵在△EFO和△BGO中， ，
∴△EFO≌△BGO，
∴FO=GO
∵EO=BO，且BE⊥FG
∴四边形BGEF为菱形．
（2）解：当AB=a，n=3时，AD=2a，AE= ，
根据勾股定理可以计算BE= ，
∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF= ，EF= ，
∵菱形BGEF面积= BE FG=EF AB，计算可得FG=
（3）解：设AB=x，则DE= ，
S1=BG AB，S2=BC AB
当 = 时， = ，可得BG= ，
在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF= ，
∴AE=AF+FE=AF+BG= ，DE=AD﹣AE= ，
∴ = ，
∴n=6．
【解析】【分析】（1）先求证△EFO≌△BGO，可得FO=GO，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形BFEG为菱形；（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．
10．【答案】（1）解：是．
理由： ， ， ，
， ，
，
、 、 为边的三角形是一个直角三角形．
即：点M、N是线段AB的勾股分割点.
（2）解：设 ，则 ，
①当 为最长线段时，依题意 ，
即 ，解得 ，
②当 为最长线段时，依题意 ．
即 ，解得 ，
综上所述 的长为 或 ．
【解析】【分析】（1）由已知可得 ，依据勾股定理逆定理即可得结论，（2）设 ，则 ，分两种情形①当 为斜边时，依题意 ，②当 为最斜边时，依题意 ，分别列出方程即可解决问题．
11．【答案】（1）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴ ；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13
（2）解：△BCD是直角三角形．
理由如下：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线求出 AE=EB=4，∠AED=90° ，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 DB=AD=5 ，再求出 ，最后证明求解即可。
12．【答案】（1）解：AB＝ ，AC＝ = ，BC＝ ；
（2）解：△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形．
【解析】【分析】(1)利用勾股定理进行求解即可得到结论；(2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论．
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