第十七章 勾股定理综合复习题（含解析）
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第十七章 勾股定理综合复习题
一、单选题
1．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1， ， B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，12，18
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4
5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小幸学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行以下练习：首先画出数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．3和3.5之间 B．3.5和4之间 C．4和4.5之间 D．4.5和5之间
7．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．如图，点A所表示的数是（ ）
A．1.5 B． C．2 D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
10．一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．如图，一个圆桶，底面直径为，高为，则一只小虫从下底部点爬到上底点处，问小虫所爬的最短路径长是 取．
12．已知直角三角形的两条边长为5和12，则斜边的长为_ ．
13．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为 米.
14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 的值是 .
15．如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有 （填写序号）．
①的形状是直角三角形；
②的周长是；
③点B到边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足，这样的D点有3个不同的位置．
三、综合题
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，连接AC。
（1）求AC的长度。
（2）求证△ACD是直角三角形。
（3）求四边形ABCD的面积
17．如图所示，在 中， ， ，在 中， 为 边上的高， ， 的面积 ．
（1）求出 边的长．
（2）你能求出 的度数吗？请试一试．
18．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．
19．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙OB=7米，这个梯子的顶端距地面AO有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了BB 几米？
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，过点D分别作DE、DF垂直AB、AC.
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝30°，AE＝1，求BC.
21．尺规作图．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．
（1）求作线段AB的中垂线交AC于点D，连接DB；
（2）求AD的长．
22．已知等腰三角形ABC的底边BC＝4cm，D是腰AB上一点，且CD=12 cm，BD＝8cm．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）求腰AB的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】A、 ，不能构成直角三角形，故答案为：错误；
B、 ，能构成直角三角形，故答案为：正确；
C、 ，不能构成直角三角形，故答案为：错误；
D、 ，不能构成直角三角形，故答案为：错误.
故答案为：B.
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：、，能构成直角三角形，且都是整数，则它们是勾股数，故本选项符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：b=
∴小正方形的边长为：b-a=4-3=1，
∴小正方形的面积为：12=1.
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可求得b的长度，b-a即可求得小正方形的边长，进而求得它的面积。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∠BAO=90°，OA=2，AB=3，
∴OB= ,
∵ , ,
∴ ,
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出OB，即可得到答案．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：、，不能构成直角三角形；
、，，不能构成直角三角形；
、，能构成直角三角形；
、，不能构成直角三角形．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
8．【答案】D
【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，即可作出判断.
由图可得点A所表示的数是，故选D.
【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：设CE=x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x= .
故答案为：C.
【分析】设CE=x，连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE=BC+CE=3+x，在Rt△ACE中，利用勾股定理可得AE2=AC2+CE2，据此建立方程，求出x值即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设一条直角边为a，则斜边为a+4，
∵另一直角边长为8，
∴（a+4）2=a2+82，解得a=6，
∴a+4=10．
故选C．
【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+4，再根据勾股定理求出a的值即可．
11．【答案】30
【解析】【解答】解：如图所示，
∵一个圆桶，底面直径为，则AC=3×16÷2=24（cm），
在Rt△ABC中，由勾股定理，
故答案为：30．
【分析】
先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
12．【答案】12或13
【解析】【解答】当12是直角边时，斜边长= =13.
故它的斜边长为13或12.
故答案为：13或12.
【分析】两条边长为5和12中，12既可以是斜边也可以是直角边，所以当当12是直角边时，斜边长==13，所以它的斜边长为13或12.
13．【答案】1500
【解析】【解答】解：由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=900米，AC=1200米，
∴BC= =1500米.
故答案为1500.
【分析】由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，从而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC.
14．【答案】5
【解析】【解答】解：将四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，
正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ， ，
得出 ， ， ，
，故 ，
，
所以 ，
故答案为：5.
【分析】根据图形的特征设四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，从而用 ， 表示出 ， ， ，得出答案即可.
15．【答案】①②③
【解析】【解答】解：由勾股定理，
∴，
∴的形状是直角三角形，①正确；
∴的周长是，②正确；
设点B到AC的距离为a，
由题意得，
∴a=2，③正确；
∵，
∴点D到CB的距离等于点A到CB的距离，
∴点D为m和n上任意一点，
∵点D在格点上（不与A重合），
∴这样的D点有7个不同的位置，④错误，
故答案为：①②③
【分析】先根据勾股定理求出AB、CA、CB的值，进而运用勾股定理的逆定理结合题意即可判断①和②；设点B到AC的距离为a，根据三角形的等面积法即可求出a，进而即可判断③；根据三角形的面积结合平行线间的距离相等即可判定④。
16．【答案】（1）解： ∵AB=BC=2，且∠ABC=90°，∴AC2=8，∴AC=2
（2）解：又∵AD=1，CD=3，AC=2 ∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，即△ACD是直角三角形
（3）解：S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD= ×2×2+ ×1×2 =2+
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可求出AC的值；
（2）由 AD=1，CD=3，AC=2 ，可知AD2+AC2=CD2 ，根据勾股定理得逆定理，即可得证；
（3） 由 S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵ ， ，∴
（2）解：∵ ， ， ，即 ，由勾股定理逆定理可知，
【解析】【分析】（1）根据三角形ABE的面积及面积计算方法列出方程，求解即可得出AB的长；
（2）在三角形ABC中，根据勾股定理的逆定理即可判断出∠C=90°。
18．【答案】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
∵CE⊥BD，∠A＝90°，
∴∠A＝∠BEC＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴AB＝CE＝3，
∵AD＝4，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，
∵△ABD≌△ECB，
∴AD＝BE＝4，
∴DE＝BD﹣BE＝1，
∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADB＝∠EBC，由垂直的概念可得∠A＝∠BEC＝90°，结合BD=CB，然后根据全等三角形的判定定理“AAS”进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AB＝CE＝3，AD＝BE＝4，利用勾股定理可得BD，则DE＝BD-BE＝1，然后利用勾股定理进行计算.
19．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，OA 24（米）.
答：梯子的顶端距地面24米；
（2）解：在Rt△AOB中，A'O=24﹣4=20米，OB' 15（米），BB'=15﹣7=8米.
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得OA的长，再计算即可；（2）在直角三角形A'OB'中计算出OB'的长度，再计算BB'即可.
20．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：连接AD，如图所示：
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BDE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝2AE＝2，
∵∠B＝30°，∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝4，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
∴BC＝2BD＝4 .
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由中点的概念可得BD＝CD，由垂直的概念可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后证明△BDE≌△CDF，据此可得结论；
（2）连接AD，由垂直的概念可得∠AED＝∠BED＝90°，根据余角的性质求出∠BDE的度数，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，求出∠ADE的度数，得到AD、AB的值，然后由勾股定理求出BD，进而可得BC.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设AD=x，则DC=8﹣x，则
62+（8﹣x）2=x2，
解得x=6.25，即AD=6.25
【解析】【分析】（1）根据中垂线的作法作图；（2）设AD=x，则DC=8﹣x，根据勾股定理即可求解．
22．【答案】（1）证明：由题意得，在等腰三角形ABC中，
在中，
是直角三角形，
；
（2）解：设，
，
，
是直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出是直角三角形，即可得出结论；
（2）设，用含有x的式子表示出AD，再结合勾股定理列出方程求出x，最后求出面积即可。
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第十七章 勾股定理综合复习题
一、单选题
1．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1， ， B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，12，18
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4
5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小幸学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行以下练习：首先画出数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．3和3.5之间 B．3.5和4之间 C．4和4.5之间 D．4.5和5之间
7．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．如图，点A所表示的数是（ ）
A．1.5 B． C．2 D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
10．一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．如图，一个圆桶，底面直径为，高为，则一只小虫从下底部点爬到上底点处，问小虫所爬的最短路径长是 取．
12．已知直角三角形的两条边长为5和12，则斜边的长为_ ．
13．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为 米.
14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 的值是 .
15．如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有 （填写序号）．
①的形状是直角三角形；
②的周长是；
③点B到边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足，这样的D点有3个不同的位置．
三、综合题
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，连接AC。
（1）求AC的长度。
（2）求证△ACD是直角三角形。
（3）求四边形ABCD的面积
17．如图所示，在 中， ， ，在 中， 为 边上的高， ， 的面积 ．
（1）求出 边的长．
（2）你能求出 的度数吗？请试一试．
18．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．
19．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙OB=7米，这个梯子的顶端距地面AO有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了BB 几米？
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，过点D分别作DE、DF垂直AB、AC.
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝30°，AE＝1，求BC.
21．尺规作图．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．
（1）求作线段AB的中垂线交AC于点D，连接DB；
（2）求AD的长．
22．已知等腰三角形ABC的底边BC＝4cm，D是腰AB上一点，且CD=12 cm，BD＝8cm．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）求腰AB的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】A、 ，不能构成直角三角形，故答案为：错误；
B、 ，能构成直角三角形，故答案为：正确；
C、 ，不能构成直角三角形，故答案为：错误；
D、 ，不能构成直角三角形，故答案为：错误.
故答案为：B.
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：、，能构成直角三角形，且都是整数，则它们是勾股数，故本选项符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，则它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：b=
∴小正方形的边长为：b-a=4-3=1，
∴小正方形的面积为：12=1.
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可求得b的长度，b-a即可求得小正方形的边长，进而求得它的面积。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∠BAO=90°，OA=2，AB=3，
∴OB= ,
∵ , ,
∴ ,
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出OB，即可得到答案．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：、，不能构成直角三角形；
、，，不能构成直角三角形；
、，能构成直角三角形；
、，不能构成直角三角形．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
8．【答案】D
【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，即可作出判断.
由图可得点A所表示的数是，故选D.
【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：设CE=x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x= .
故答案为：C.
【分析】设CE=x，连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE=BC+CE=3+x，在Rt△ACE中，利用勾股定理可得AE2=AC2+CE2，据此建立方程，求出x值即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设一条直角边为a，则斜边为a+4，
∵另一直角边长为8，
∴（a+4）2=a2+82，解得a=6，
∴a+4=10．
故选C．
【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+4，再根据勾股定理求出a的值即可．
11．【答案】30
【解析】【解答】解：如图所示，
∵一个圆桶，底面直径为，则AC=3×16÷2=24（cm），
在Rt△ABC中，由勾股定理，
故答案为：30．
【分析】
先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
12．【答案】12或13
【解析】【解答】当12是直角边时，斜边长= =13.
故它的斜边长为13或12.
故答案为：13或12.
【分析】两条边长为5和12中，12既可以是斜边也可以是直角边，所以当当12是直角边时，斜边长==13，所以它的斜边长为13或12.
13．【答案】1500
【解析】【解答】解：由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=900米，AC=1200米，
∴BC= =1500米.
故答案为1500.
【分析】由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，从而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC.
14．【答案】5
【解析】【解答】解：将四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，
正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ， ，
得出 ， ， ，
，故 ，
，
所以 ，
故答案为：5.
【分析】根据图形的特征设四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，从而用 ， 表示出 ， ， ，得出答案即可.
15．【答案】①②③
【解析】【解答】解：由勾股定理，
∴，
∴的形状是直角三角形，①正确；
∴的周长是，②正确；
设点B到AC的距离为a，
由题意得，
∴a=2，③正确；
∵，
∴点D到CB的距离等于点A到CB的距离，
∴点D为m和n上任意一点，
∵点D在格点上（不与A重合），
∴这样的D点有7个不同的位置，④错误，
故答案为：①②③
【分析】先根据勾股定理求出AB、CA、CB的值，进而运用勾股定理的逆定理结合题意即可判断①和②；设点B到AC的距离为a，根据三角形的等面积法即可求出a，进而即可判断③；根据三角形的面积结合平行线间的距离相等即可判定④。
16．【答案】（1）解： ∵AB=BC=2，且∠ABC=90°，∴AC2=8，∴AC=2
（2）解：又∵AD=1，CD=3，AC=2 ∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，即△ACD是直角三角形
（3）解：S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD= ×2×2+ ×1×2 =2+
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可求出AC的值；
（2）由 AD=1，CD=3，AC=2 ，可知AD2+AC2=CD2 ，根据勾股定理得逆定理，即可得证；
（3） 由 S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵ ， ，∴
（2）解：∵ ， ， ，即 ，由勾股定理逆定理可知，
【解析】【分析】（1）根据三角形ABE的面积及面积计算方法列出方程，求解即可得出AB的长；
（2）在三角形ABC中，根据勾股定理的逆定理即可判断出∠C=90°。
18．【答案】（1）证明：∵AD//BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
∵CE⊥BD，∠A＝90°，
∴∠A＝∠BEC＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴AB＝CE＝3，
∵AD＝4，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，
∵△ABD≌△ECB，
∴AD＝BE＝4，
∴DE＝BD﹣BE＝1，
∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADB＝∠EBC，由垂直的概念可得∠A＝∠BEC＝90°，结合BD=CB，然后根据全等三角形的判定定理“AAS”进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AB＝CE＝3，AD＝BE＝4，利用勾股定理可得BD，则DE＝BD-BE＝1，然后利用勾股定理进行计算.
19．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，OA 24（米）.
答：梯子的顶端距地面24米；
（2）解：在Rt△AOB中，A'O=24﹣4=20米，OB' 15（米），BB'=15﹣7=8米.
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得OA的长，再计算即可；（2）在直角三角形A'OB'中计算出OB'的长度，再计算BB'即可.
20．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：连接AD，如图所示：
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BDE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝2AE＝2，
∵∠B＝30°，∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝4，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
∴BC＝2BD＝4 .
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由中点的概念可得BD＝CD，由垂直的概念可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后证明△BDE≌△CDF，据此可得结论；
（2）连接AD，由垂直的概念可得∠AED＝∠BED＝90°，根据余角的性质求出∠BDE的度数，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，求出∠ADE的度数，得到AD、AB的值，然后由勾股定理求出BD，进而可得BC.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设AD=x，则DC=8﹣x，则
62+（8﹣x）2=x2，
解得x=6.25，即AD=6.25
【解析】【分析】（1）根据中垂线的作法作图；（2）设AD=x，则DC=8﹣x，根据勾股定理即可求解．
22．【答案】（1）证明：由题意得，在等腰三角形ABC中，
在中，
是直角三角形，
；
（2）解：设，
，
，
是直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出是直角三角形，即可得出结论；
（2）设，用含有x的式子表示出AD，再结合勾股定理列出方程求出x，最后求出面积即可。
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