用推理方法研究三角形(湖北省宜昌市)
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用推理方法研究三角形
教学目标
知识技能目标
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
过程性目标
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
一、情境导入
请同学们按以下步骤画△ABC．
1．任意画线段BC；
2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．
二、探究归纳
1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”
说明
(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．
(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）
所以AB＝AC．（等角对等边）
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．
求证：等腰三角形的两个底角相等．
已知：△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）
推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）
所以∠B＝∠C．（等边对等角）
说明
(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；
(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ）
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．
1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．
已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．
求证：PD＝PE．
分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．
角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？
1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_______，结论是_______；
命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_______，结论是_______．
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．
2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．
3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？
例题：
例1 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．
求证：BE⊥AC．
分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC．
例2 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．
分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE．
例3 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．
(1)全等三角形的面积相等；
(2)同角的余角相等；
(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
例4 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．
已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．
求证：△ABC是直角三角形．
分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a， C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
例5 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝AD．
求证：△EMC是直角三角形．
作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC．
3．给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
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用推理方法研究三角形
教学目标
知识技能目标
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
过程性目标
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
一、情境导入
请同学们按以下步骤画△ABC．
1．任意画线段BC；
2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．
二、探究归纳
1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”
说明
(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．
(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）
所以AB＝AC．（等角对等边）
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．
求证：等腰三角形的两个底角相等．
已知：△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）
推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）
所以∠B＝∠C．（等边对等角）
说明
(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；
(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ）
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．
1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．
已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．
求证：PD＝PE．
分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．
角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？
1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_______，结论是_______；
命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_______，结论是_______．
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．
2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．
3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？
例题：
例1 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．
求证：BE⊥AC．
分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC．
例2 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．
分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE．
例3 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．
(1)全等三角形的面积相等；
(2)同角的余角相等；
(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
例4 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．
已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．
求证：△ABC是直角三角形．
分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a， C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
例5 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝AD．
求证：△EMC是直角三角形．
作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC．
3．给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
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