18.1 平行四边形综合练习题（含解析）
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18.1 平行四边形综合练习题
一、单选题
1．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF
C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
2．如图，中，，，，点D，E分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，要测量被池塘隔开的A、C两点间的距离，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得EF两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）米
A．23 B．46 C．50 D．2
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相垂直
C．平行四边形的邻边相等 D．平行四边形的对边相等
5．如图，在 ABCD中，∠B＝110°，延长AD至点F，延长CD至点E，连结EF，则∠E＋∠F＝（ ）
A．110° B．30° C．50° D．70°
6．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
7．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．如图， ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图， ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
10．如图，在中，，，连接，相交于点O，E为的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）
A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180°
C．∠B+∠A=180° D．∠A+∠D=180°
12．如图：已知 ，点 、 在线段 上且 ； 是线段 上的动点，分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是
A．5 B．4 C．3 D．0
二、填空题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是 .
15．在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10 cm ，∠CAB=30°，AB= 6 cm ，则平行四边形ABCD的面积为 .
三、解答题
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别是E、F．求证：△ABE≌△CDF．
17．如图，在平行四边形中，点在上，且.求证：.
18．如图，将平行四边形 的对角线 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且使 .求证：四边形 是平行四边形.
四、综合题
19．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求平行四边形的面积．
20．如图，在 ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF
（2）求∠EAF的度数．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD、BC于点E和点F，
（1）求证：DE=BF．
（2）若EF⊥BD，试判断四边形BEDF是什么特殊平行四边形？并证明你的结论．
22．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒．当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的速度分别为v1、v2（cm/s），点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究a与b满足的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】若AE＝CF四边形DEBF是平行四边形．
理由：在 ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵BE=AB-AE，DF=CD-CF，AE=CF
∴BE=DF
即BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
如图，若DE＝BF，BF和DE不一定平行
若∠ADE＝∠CBF，或∠AED＝∠CFB， 根据平行四边形性质可得BE∥DF，DE∥BF；
∴四边形DEBF是平行四边形．
故答案为：B.
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，故要想四边形DEBF是平行四边形，添加的条件能证出BE=DF，或DE∥BF，或∠DEB=∠BFD，或∠EDF=∠EBF，根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行，且一组对教学点的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∠C＝90°， ， ，
∴AB＝ ，
∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴DE＝ AB＝2.5，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线的性质可得DE＝ AB＝2.5。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点E、F分别是BA和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2×23＝46米．
故答案为：B．
【分析】先判断出EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC＝2EF．
4．【答案】D
【解析】【解答】A、平行四边形的对角线互相平分，故此选项不是真命题；
B、平行四边形的对角线不一定互相垂直，故此选项不是真命题；
C、平行四边形的邻边不相等，故此选项不是真命题；
D、平行四边形的对边相等，是真命题．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质进行求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠ADE=180°﹣∠B=70°
∵∠E+∠F=∠ADE
∴∠E+∠F=70°
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的邻角互补得出∠A的度数，再根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADE的度数，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角之和得出∠E+∠F=∠ADE，从而得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
【分析】分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=180°﹣45°=135°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=75°．
故选A．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案．
8．【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=5﹣3=2，
故答案为：B．
【分析】先依据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BEA=∠BAE，然后依据等角对等边得到BE=AB=3，最后再依据CE=BC﹣BE求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵ ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．
10．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵AB=，AD=2，BD=
∴在△ABD中
∴
∴根据勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，∠BAD=90°
∴
又∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∵OE是△BCO的中线
∴
∴
故正确答案是：C
【分析】本题先根据勾股定理的逆定理确定△ABD是直角三角形，然后在根据平行四边形的性质和中线的性质求出面积即可。
11．【答案】D
【解析】【解答】解：A、如图1，∵AD∥CB，
∴∠A+∠B=180°，
如果∠A+∠C=180°，
则可得：∠B=∠C，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B、如图1，∵AD∥CB，
∴∠A+∠B=180°，
如果∠B+∠D=180°，
则可得：∠A=∠D，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
C、如图1，∵AD∥CB，
∴∠A+∠B=180°，
再加上条件∠A+∠B=180°，
也证不出是四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、如图2，
∵∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选D．
【分析】四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可，只有D选项符合．
12．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，分别延长 、 交于点 ．
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分．
为 的中点，
也正好为 中点，
即在 的运动过程中， 始终为 的中点，
所以 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．
，
，即 的移动路径长为3．
故答案为： ．
【分析】分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，得出 为 中点，则 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．再求出 的长，运用中位线的性质求出 的长度即可．
13．【答案】6
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵点D、E、F是三边的中点，
∴DE＝ AC，DF＝ AB，EF＝ BC，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝ AC+ AB+ BC＝ （AC+AB+BC）＝ （3+4+5）＝6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线性质“中位线的长度等于第三边的一半”可知DE=AC，同理可推出DF与EF，则△DEF的周长为△ABC周长的一半。
14．【答案】9
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF=AD=2，FG=BC=2.5，GH=AD=2，EH=BC=2.5，
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+HE=9，
故答案为：9.
【分析】由题意可得EF、FG、GH、EH分别为△ABD、△BCD、△ACD、△ABC的中位线，则EF=AD=2，FG=BC=2.5，GH=AD=2，EH=BC=2.5，然后由周长的意义进行计算.
15．【答案】30
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，
∵∠CAB=30°，
故平行四边形ABCD的面积为
故答案为：30.
【分析】要想求 ABCD的面积可以利用平行四边形的面积公式，先求出底和高，再计算面积.
16．【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用AAS得出△ABE≌△CDF．
17．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
和中，
，
，
.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，然后证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
18．【答案】证明：连接 ，设 与 交于点
四边形 是平行四边形.
，
又
四边形 是平行四边形
【解析】【分析】 连接 ，设 与 交于点O，由平行四边形的性质可得，由 ，可得，根据对角线互相平分即证四边形 是平行四边形.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线与相交于点O，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，O是对角线的交点，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证，可得，由平行四边形的性质可得OB=OD，即得AF=OD，结合AF∥OD，根据一组对边平行且相等即证四边形是平行四边形；
（2）利用直角三角形的性质可得，由勾股定理求出CE=， 由平行四边形的性质及线段的中点可得OA=OC，EA=EO，从而得出OE=，OA=2，由（1），可得，根据计算即可．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
【解析】【解答】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
【分析】 此题考查了三角形全等。涉及有平行四边形性质和全等图形对应边相等以及通过全等求角的度数等问题。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴DE=BF
（2）结论：四边形BEDF是菱形．
理由：∵ED∥BF，DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴ BEDF是菱形
【解析】【分析】（1）欲证明DE=BF，只要证明△OED≌△OFB（AAS）即可解决问题；（2）四边形BEDF是菱形．首先证明四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直即可证明是菱形；
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5
（2）①解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得：t= ，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 秒；
②由①得，PC=QA时，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
设运动时间为y秒，
则yv1=12﹣yv2，
解得，y= ，
∴a= ×v1，b= ×v2，
∴ = ．
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求AF的长；（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②由①的结论用v1、v2表示出A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间，计算即可．
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18.1 平行四边形综合练习题
一、单选题
1．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF
C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
2．如图，中，，，，点D，E分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，要测量被池塘隔开的A、C两点间的距离，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得EF两点间距离等于23米，则A、C两点间的距离为（ ）米
A．23 B．46 C．50 D．2
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相垂直
C．平行四边形的邻边相等 D．平行四边形的对边相等
5．如图，在 ABCD中，∠B＝110°，延长AD至点F，延长CD至点E，连结EF，则∠E＋∠F＝（ ）
A．110° B．30° C．50° D．70°
6．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
7．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．如图， ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图， ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
10．如图，在中，，，连接，相交于点O，E为的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）
A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180°
C．∠B+∠A=180° D．∠A+∠D=180°
12．如图：已知 ，点 、 在线段 上且 ； 是线段 上的动点，分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是
A．5 B．4 C．3 D．0
二、填空题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是 .
15．在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10 cm ，∠CAB=30°，AB= 6 cm ，则平行四边形ABCD的面积为 .
三、解答题
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别是E、F．求证：△ABE≌△CDF．
17．如图，在平行四边形中，点在上，且.求证：.
18．如图，将平行四边形 的对角线 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且使 .求证：四边形 是平行四边形.
四、综合题
19．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求平行四边形的面积．
20．如图，在 ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF
（2）求∠EAF的度数．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD、BC于点E和点F，
（1）求证：DE=BF．
（2）若EF⊥BD，试判断四边形BEDF是什么特殊平行四边形？并证明你的结论．
22．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒．当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的速度分别为v1、v2（cm/s），点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究a与b满足的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】若AE＝CF四边形DEBF是平行四边形．
理由：在 ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵BE=AB-AE，DF=CD-CF，AE=CF
∴BE=DF
即BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
如图，若DE＝BF，BF和DE不一定平行
若∠ADE＝∠CBF，或∠AED＝∠CFB， 根据平行四边形性质可得BE∥DF，DE∥BF；
∴四边形DEBF是平行四边形．
故答案为：B.
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，故要想四边形DEBF是平行四边形，添加的条件能证出BE=DF，或DE∥BF，或∠DEB=∠BFD，或∠EDF=∠EBF，根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行，且一组对教学点的四边形是平行四边形，即可一一判断得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∠C＝90°， ， ，
∴AB＝ ，
∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴DE＝ AB＝2.5，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线的性质可得DE＝ AB＝2.5。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点E、F分别是BA和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2×23＝46米．
故答案为：B．
【分析】先判断出EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC＝2EF．
4．【答案】D
【解析】【解答】A、平行四边形的对角线互相平分，故此选项不是真命题；
B、平行四边形的对角线不一定互相垂直，故此选项不是真命题；
C、平行四边形的邻边不相等，故此选项不是真命题；
D、平行四边形的对边相等，是真命题．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质进行求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠ADE=180°﹣∠B=70°
∵∠E+∠F=∠ADE
∴∠E+∠F=70°
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的邻角互补得出∠A的度数，再根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠ADE的度数，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角之和得出∠E+∠F=∠ADE，从而得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
【分析】分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=180°﹣45°=135°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=75°．
故选A．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案．
8．【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=5﹣3=2，
故答案为：B．
【分析】先依据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BEA=∠BAE，然后依据等角对等边得到BE=AB=3，最后再依据CE=BC﹣BE求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵ ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．
10．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵AB=，AD=2，BD=
∴在△ABD中
∴
∴根据勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，∠BAD=90°
∴
又∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∵OE是△BCO的中线
∴
∴
故正确答案是：C
【分析】本题先根据勾股定理的逆定理确定△ABD是直角三角形，然后在根据平行四边形的性质和中线的性质求出面积即可。
11．【答案】D
【解析】【解答】解：A、如图1，∵AD∥CB，
∴∠A+∠B=180°，
如果∠A+∠C=180°，
则可得：∠B=∠C，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B、如图1，∵AD∥CB，
∴∠A+∠B=180°，
如果∠B+∠D=180°，
则可得：∠A=∠D，
这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
C、如图1，∵AD∥CB，
∴∠A+∠B=180°，
再加上条件∠A+∠B=180°，
也证不出是四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、如图2，
∵∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选D．
【分析】四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可，只有D选项符合．
12．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，分别延长 、 交于点 ．
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分．
为 的中点，
也正好为 中点，
即在 的运动过程中， 始终为 的中点，
所以 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．
，
，即 的移动路径长为3．
故答案为： ．
【分析】分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，得出 为 中点，则 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．再求出 的长，运用中位线的性质求出 的长度即可．
13．【答案】6
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵点D、E、F是三边的中点，
∴DE＝ AC，DF＝ AB，EF＝ BC，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝ AC+ AB+ BC＝ （AC+AB+BC）＝ （3+4+5）＝6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线性质“中位线的长度等于第三边的一半”可知DE=AC，同理可推出DF与EF，则△DEF的周长为△ABC周长的一半。
14．【答案】9
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF=AD=2，FG=BC=2.5，GH=AD=2，EH=BC=2.5，
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+HE=9，
故答案为：9.
【分析】由题意可得EF、FG、GH、EH分别为△ABD、△BCD、△ACD、△ABC的中位线，则EF=AD=2，FG=BC=2.5，GH=AD=2，EH=BC=2.5，然后由周长的意义进行计算.
15．【答案】30
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，
∵∠CAB=30°，
故平行四边形ABCD的面积为
故答案为：30.
【分析】要想求 ABCD的面积可以利用平行四边形的面积公式，先求出底和高，再计算面积.
16．【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用AAS得出△ABE≌△CDF．
17．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
和中，
，
，
.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，然后证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
18．【答案】证明：连接 ，设 与 交于点
四边形 是平行四边形.
，
又
四边形 是平行四边形
【解析】【分析】 连接 ，设 与 交于点O，由平行四边形的性质可得，由 ，可得，根据对角线互相平分即证四边形 是平行四边形.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线与相交于点O，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，O是对角线的交点，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证，可得，由平行四边形的性质可得OB=OD，即得AF=OD，结合AF∥OD，根据一组对边平行且相等即证四边形是平行四边形；
（2）利用直角三角形的性质可得，由勾股定理求出CE=， 由平行四边形的性质及线段的中点可得OA=OC，EA=EO，从而得出OE=，OA=2，由（1），可得，根据计算即可．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
【解析】【解答】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
【分析】 此题考查了三角形全等。涉及有平行四边形性质和全等图形对应边相等以及通过全等求角的度数等问题。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴DE=BF
（2）结论：四边形BEDF是菱形．
理由：∵ED∥BF，DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴ BEDF是菱形
【解析】【分析】（1）欲证明DE=BF，只要证明△OED≌△OFB（AAS）即可解决问题；（2）四边形BEDF是菱形．首先证明四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直即可证明是菱形；
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5
（2）①解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得：t= ，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 秒；
②由①得，PC=QA时，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
设运动时间为y秒，
则yv1=12﹣yv2，
解得，y= ，
∴a= ×v1，b= ×v2，
∴ = ．
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求AF的长；（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②由①的结论用v1、v2表示出A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间，计算即可．
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