18.2.1 矩形同步练习（含解析）
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18.2.1 矩形
一、单选题
1．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
3．如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠BOC=120°，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为2cm，则较长的边长为 cm．
5．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，现在点B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为 ．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
三、综合题
7．如图，在梯形中，，平分，．
（1）求证：；
（2）作，垂足为点E，．
①设，请用含m的代数式表示梯形的面积；
②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由．
8．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连结BF．
（1）求证：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中点；
（2）若AB=AC，求证：四边形AFBD是矩形．
9．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图建立数学模型，
则 ， ，则 ，
两棵树的高度差 ，
间距 ，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 ，
即 .
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由题意可得：CD=19m，BE=10m，DE=12m，根据AC=CD-AD求出AC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求出BC的值即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定的方法逐一判定即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ∠BOC=120° ，所以 ∠BOA=60°。在矩形ABCD 中，AO=BO=AC，所以△ABO是等边三角形。所以AB=AO=AC=×8=4
故答案为：B
【分析】矩形的对角线相等且相互平分。有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。
解题关键：熟记矩形的性质。
4．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，AC=2OA=4，
在Rt△ABC中，BC= = =2 ．
故答案为2
【分析】如图，首先证明△AOB是等边三角形，求出AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可解决问题．
5．【答案】55°
【解析】【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，
∴BP=BC，MP=MC，
∵∠PMC=110°，
∴∠MCP=（180°-∠PMC）=（180°-110°）=35°，
在长方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠BCP=90°-∠MCP=90°-35°=55°，
∴∠BPC=∠BCP=55°．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等边对等角求解即可．
6．【答案】9
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= =10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
故答案为：9．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
7．【答案】（1）证明：如图所示，在上截取，连接
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴平行四边形是菱形
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）解：①如图所示，
∵平行四边形是菱形
∴设
∴
∴在中，
∴，解得
∴，
∴；
②能成为直角三角形，理由如下∶
当时，
∵F是的中点，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
如图所示，当时，
∵F是的中点，
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴
又∵
∴
即，点A，G重合时，能成为直角三角形
综上所述，的长为4或6 ．
【解析】【分析】 (1)、在上截取，连接 ， 证明四边形是平行四边形，证明，可得 平行四边形是菱形 ，根据菱形的性质求出 ，再根据角和边的关系求出.
(2)、① 根据 平行四边形是菱形的性质，设 ，勾股定理求出 ，再根据梯形的面积公式求出.
②能成为直角三角形，理由如下∶分情况讨论，当时，求出 ；当时，求出点A，G重合时，能成为直角三角形.
8．【答案】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△EDC中， ，
∴△EAF≌△EDC（AAS）；
②∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
即D是BC的中点
（2）证明：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形
【解析】【分析】（1）①由AF∥BC，根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，由点E为AD的中点，得出AE=DE，然后再证明三角形全等即可。②由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可。
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠F＝∠BCE，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（AAS）．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，
即CF的长为8．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可知AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠F=∠BCE，利用线段中点的定义可得到AE=BE；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用矩形的性质可证得∠D=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CF的长.
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18.2.1 矩形
一、单选题
1．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
2．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
3．如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠BOC=120°，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为2cm，则较长的边长为 cm．
5．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，现在点B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为 ．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
三、综合题
7．如图，在梯形中，，平分，．
（1）求证：；
（2）作，垂足为点E，．
①设，请用含m的代数式表示梯形的面积；
②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由．
8．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连结BF．
（1）求证：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中点；
（2）若AB=AC，求证：四边形AFBD是矩形．
9．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图建立数学模型，
则 ， ，则 ，
两棵树的高度差 ，
间距 ，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 ，
即 .
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由题意可得：CD=19m，BE=10m，DE=12m，根据AC=CD-AD求出AC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求出BC的值即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定的方法逐一判定即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ∠BOC=120° ，所以 ∠BOA=60°。在矩形ABCD 中，AO=BO=AC，所以△ABO是等边三角形。所以AB=AO=AC=×8=4
故答案为：B
【分析】矩形的对角线相等且相互平分。有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。
解题关键：熟记矩形的性质。
4．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，AC=2OA=4，
在Rt△ABC中，BC= = =2 ．
故答案为2
【分析】如图，首先证明△AOB是等边三角形，求出AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可解决问题．
5．【答案】55°
【解析】【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，
∴BP=BC，MP=MC，
∵∠PMC=110°，
∴∠MCP=（180°-∠PMC）=（180°-110°）=35°，
在长方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠BCP=90°-∠MCP=90°-35°=55°，
∴∠BPC=∠BCP=55°．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等边对等角求解即可．
6．【答案】9
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= =10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
故答案为：9．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
7．【答案】（1）证明：如图所示，在上截取，连接
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴平行四边形是菱形
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）解：①如图所示，
∵平行四边形是菱形
∴设
∴
∴在中，
∴，解得
∴，
∴；
②能成为直角三角形，理由如下∶
当时，
∵F是的中点，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
如图所示，当时，
∵F是的中点，
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴
又∵
∴
即，点A，G重合时，能成为直角三角形
综上所述，的长为4或6 ．
【解析】【分析】 (1)、在上截取，连接 ， 证明四边形是平行四边形，证明，可得 平行四边形是菱形 ，根据菱形的性质求出 ，再根据角和边的关系求出.
(2)、① 根据 平行四边形是菱形的性质，设 ，勾股定理求出 ，再根据梯形的面积公式求出.
②能成为直角三角形，理由如下∶分情况讨论，当时，求出 ；当时，求出点A，G重合时，能成为直角三角形.
8．【答案】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△EDC中， ，
∴△EAF≌△EDC（AAS）；
②∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
即D是BC的中点
（2）证明：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形
【解析】【分析】（1）①由AF∥BC，根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，由点E为AD的中点，得出AE=DE，然后再证明三角形全等即可。②由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可。
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠F＝∠BCE，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（AAS）．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，
即CF的长为8．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可知AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠F=∠BCE，利用线段中点的定义可得到AE=BE；然后利用AAS可证得结论.
（2）利用矩形的性质可证得∠D=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CF的长.
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