江苏省南京市玄武区第九中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市玄武区第九中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 591.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-01 15:56:28 | ||
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文档简介
南京市玄武区第九中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学
2024.01
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名 准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第I卷（选择题共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ）
A.-1 B. C. D.3
2.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，则不同选择的种数是（ ）
A. B. C. D.
3.设等比数列的首项为，公比为，则“且”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4.在空间直角坐标系中，已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面为的中点，.若，则二面角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知数列满足，则的值是（ ）
A.25 B.50 C.75 D.100
8.在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线 （，）有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影向量为，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.16
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在平面直角坐标系中，过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（ ）
A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序
B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序
C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序
D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序
11.在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ）
A.的最小值为2
B.以线段为直径的圆与轴相切
C.
D.当时，直线的斜率为
12.已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ）
A.若，则
B.若，则平面
C.若，则的最小值为
D.若，则与平面的所成角为定值
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，那么__________.
14.在直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦值是__________.
15.若数列满足，且，则__________.
16.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左 右顶点分别为，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17.（本小题满分10分）
如图，正四面体（四个面都是正三角形）的棱长为是棱的中点，点满足，点满足.
（1）用向量表示；
（2）求.
18.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且为递增数列，若，求证：
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面.求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，对任意的，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的通项公式.
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
（1）求；
（2）已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点坐标.
数学答案
2024.01
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.ACD 10.AC 11.BC 12.ACD
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.6 14. 15. 16.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
解：（1）因为是棱的中点，点满足，点满足.
所以
（2）因为四面体是正四面体，则，
所以.
18.（本题满分12分）
解：（1）由已知可设圆心，
则，
解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
即，解得，
又，
所以或-7，
所以直线的方程为或.
19.（本题满分12分）
解：（1）当，则.
当，则，且，解得，
故.
综上，的通项公式为，或.
（2）由，且为递增数列，
得，所以.
所以.
故..
20.（本题满分12分）
解：（1）证明：连接交于点，连接.
因为四边形是菱形，所以点是的中点.
又因为点是的中点，所以是三角形的中位线.
所以，又因为平面平面
所以平面
（2）因为四边形是菱形，，
所以，
又，所以三角形为正三角形.
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为三角形为正三角形，
则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，
，
设平面的一个法向量为，
则，故，
取，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.（本题满分12分）
解：（1）①，②，
②-①得到，
所以，
即
因为，所以，
所以数列为等差数列，
又因为，
所以.
（2）因为，
所以，
所以
③
所以④
所以④-③得
即.
22.（本题满分12分）
解：（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线，
联立得，即，
相切得：，即，
所以
由两切线垂直得：
；
（2）由（1）得，椭圆方程为
由题可知，直线的斜率存在，
设，联立得
设，
由韦达定理得：
由题意为直径的圆过点，
①
又
.
代入①式得：
或-1（舍去），
所以过定点.
数学
2024.01
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名 准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第I卷（选择题共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ）
A.-1 B. C. D.3
2.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，则不同选择的种数是（ ）
A. B. C. D.
3.设等比数列的首项为，公比为，则“且”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4.在空间直角坐标系中，已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面为的中点，.若，则二面角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知数列满足，则的值是（ ）
A.25 B.50 C.75 D.100
8.在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线 （，）有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影向量为，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.16
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在平面直角坐标系中，过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（ ）
A.若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序
B.若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序
C.若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序
D.若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序
11.在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ）
A.的最小值为2
B.以线段为直径的圆与轴相切
C.
D.当时，直线的斜率为
12.已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ）
A.若，则
B.若，则平面
C.若，则的最小值为
D.若，则与平面的所成角为定值
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，那么__________.
14.在直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦值是__________.
15.若数列满足，且，则__________.
16.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左 右顶点分别为，点在双曲线上且位于第一象限，若且，则的值是__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17.（本小题满分10分）
如图，正四面体（四个面都是正三角形）的棱长为是棱的中点，点满足，点满足.
（1）用向量表示；
（2）求.
18.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且为递增数列，若，求证：
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面.求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，对任意的，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的通项公式.
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
（1）求；
（2）已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点坐标.
数学答案
2024.01
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.ACD 10.AC 11.BC 12.ACD
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.6 14. 15. 16.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
解：（1）因为是棱的中点，点满足，点满足.
所以
（2）因为四面体是正四面体，则，
所以.
18.（本题满分12分）
解：（1）由已知可设圆心，
则，
解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
即，解得，
又，
所以或-7，
所以直线的方程为或.
19.（本题满分12分）
解：（1）当，则.
当，则，且，解得，
故.
综上，的通项公式为，或.
（2）由，且为递增数列，
得，所以.
所以.
故..
20.（本题满分12分）
解：（1）证明：连接交于点，连接.
因为四边形是菱形，所以点是的中点.
又因为点是的中点，所以是三角形的中位线.
所以，又因为平面平面
所以平面
（2）因为四边形是菱形，，
所以，
又，所以三角形为正三角形.
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为三角形为正三角形，
则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，
，
设平面的一个法向量为，
则，故，
取，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.（本题满分12分）
解：（1）①，②，
②-①得到，
所以，
即
因为，所以，
所以数列为等差数列，
又因为，
所以.
（2）因为，
所以，
所以
③
所以④
所以④-③得
即.
22.（本题满分12分）
解：（1）由题可知，切线斜率存在，则设切线，
联立得，即，
相切得：，即，
所以
由两切线垂直得：
；
（2）由（1）得，椭圆方程为
由题可知，直线的斜率存在，
设，联立得
设，
由韦达定理得：
由题意为直径的圆过点，
①
又
.
代入①式得：
或-1（舍去），
所以过定点.
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