答案
1---12题 DCBCABADCDBD
13 / 14 ，
15 16
11．【解答】解：设|AB|＝4x，则|AF1|＝3x，|AF2|＝x，
∵|AF1|﹣|AF2|＝2a，∴x＝a，
∴|AB|＝4a，|BF1|＝5a，
∴满足|AF1|2+|AB|2＝|BF1|2，
则∠F1AB＝90°，
则|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，
即9a2+a2＝4c2，
即10a2＝4c2，
得e＝＝，
故选：B．
12．【解答】解：根据题意，画出f（x）的图象如下所示：
令f（x）＝t，（t＞0），故可得lnx＝t，解得x＝et；，解得．
故可得，故，
故可得，，恒成立，故g'（t）是单调递增函数，且g'（1）＝0，关于g'（t）＜0在（0，1）成立，g'（t）＞0在（1，+∞）成立，故g（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故g（t）min＝g（1）＝e+e＝2e．即AB的最小值为2e．故选：D．
16．【详解】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，
因为是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
所以就是二面角的平面角，又二面角的大小为，所以，又，，，
所以，所以，
所以点O就是三棱锥外接球的球心，其球半径为，
所以该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：.
17. 因为，所以，
因为，所以，所以，故.
【小问2详解】
因为，解得，
再由余弦定理可得，
所以.
18. 【详解】（1）由为等差数列，得，则
又构成等比数列，所以，
即解得或(舍)，所以;
（2）因为，
所以
19．【详解】（1）四边形为菱形，且，中点为，所以．
因为，所以，
因为平面，平面，所以．
又，，平面，
所以平面；
（2）设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，，，
，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得；
，，平面的一个法向量为，
则，令得；
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为．
20.【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
21. 【小问1详解】
因为，
当时，，
所以，
由，得，由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以在处有极大值，极大值为，无极小值；
【小问2详解】
因为，
所以，则有两个变号零点，
由，可得，
所以有两个不等正根，
设，则，
由，可得，函数单调递增，由，可得，函数单调递减，
所以在处有极大值，，
又，时；时，，
作出函数的大致图象，
由图象可知要使有两个不等正根，则，
即a的取值范围为.
22.【详解】（1）解：由（为参数）可得（为参数），
消去参数可得，即，
转换为极坐标方程可得，即曲线的极坐标方程为.
（2）解：设点的极坐标为，设点的极坐标为，
将代入曲线的极坐标方程可得，
因为，解得，
将代入直线的极坐标方程可得，可得，
因此，.
23．【详解】（1）由题意知，
∴原不等式等价于或或，
解得或或，
∴原不等式的解集为；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以的最小值为，
∴只需，整理得，
解得，
∴实数的取值范围为.石嘴山市大武口区2023-2024学年高三第一学期期中数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A. B. C.2 D. 1
3. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A. 12 B.6 C. 8 D. 4
5. 已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．60π B．61π C．62π D．63π
7. 已知向量，，.若，则（ ）
A. B. C. D.
8．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝r2截y轴所得的弦长为2，过点（0，4）且斜率为k的直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
9. 已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若|AF1|：|AB|＝3：4，且F2是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
12．（5分）平行于x轴的直线与函数f（x）＝的图象交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为（ ）
A． B． C．e D．2e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为 ．
14．已知命题，，则为 .
15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______.
16．在三棱锥中，是边长为等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为________．
三、解答题解答应写出文字说明．证明过程助手或演算步骤
17.（12分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求B；
（2）若，且的面积为12，求b.
18. （12分）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式. （2）设数列的前项和为，求证:
19．（12分）四边形为菱形，平面，，，．
(1)设中点为，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
20. （12分）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
21. （12分） ．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)设射线与曲线交于点，与直线交于点，求的值．
23．设函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
